דרגות חופש

דרגת חופש היא פרמטר פיזיקלי עצמאי, שנקרא רבות ממד בתיאור פורמלי של מערכת מודל פיזיקלית. קבוצת כל הממדים של מערכת נקראת מרחב הפאזה.

הגדרה

במודלים מתמטיים, מספר דרגות החופש של מערכת הוא מספר הערכים הבלתי-תלויים המאפשר לתאר את המצב באופן חד משמעי. מקורו של המושג בסטטיסטיקה, שם הוא משמש באופן טכני יותר לתיאור מספר הפרמטרים המעורבים בקביעת התפלגות, או מספר המשתנים החופשיים בחישוב.

בדרך כלל, כל אחת מדרגות החופש מיוצגת על ידי מספר ממשי (או קטע). לדוגמה: למרות שכל נקודה במישור יכולה להיות מיוצגת על ידי מספר מרוכב אחד, נקודות במישור הכלול במודל יתרמו שתי דרגות חופש למודל.

בפיזיקה, דרגת חופש של מערכת היא תיאור פורמלי של פרמטר שתורם למצב של מערכת פיזיקלית.

היא יכולה גם להיות מוגדרת כמספר המינימלי של קורדינטות הנדרשות למקם עצם או מערכת של עצמים.

במכניקה עצם נקודתי יכול לזוז בחופשיות בשלושת הממדים של המרחב. לכן התנע של חלקיק מרוכב משלושה חלקים, כל אחד נקרא דרגת חופש. מכאן שלמערכת עם N חלקיקים עצמאיים יהיו 3N דרגות חופש.

בצורה דומה במכניקה סטטיסטית דרגת חופש היא סקלר שמתאר את המיקרוסטייט של המערכת. הנקודות שבהן כל המיקרוסטייטים יכולים להתקיים מהוות את מרחב הפאזה.

דרגת חופש יכולה להיות כל תכונה שימושית שלא תלויה במשתנים אחרים. לדוגמה בשרשרת אידאלית בתלת מימד כדי לתאר את המיקום של כל מונומטר צריך שתי זוויות.

בהשאלה, המונח "מספר דרגות החופש" משמש בכל תחומי המדע, במשמעות דומה לזו של ממד מתמטי או ממד פיזיקלי.

דוגמאות

כדי לתאר חלקיק נע, יש צורך בשלושה רכיבי מקום (בקואורדינטות קרטזיות), ובשלושה רכיבי מהירות. אם כל אלה בלתי תלויים זה בזה, אומרים שלחלקיק יש 6 דרגות חופש. למכל גז שיש בו N חלקיקים, יש 6N דרגות חופש - 6 לכל חלקיק. העובדה שהחלקיקים חסומים בתחום מרחבי מסוים אינה פוגעת במספר דרגות החופש. לעומת זאת, חלקיק שתנועתו מוגבלת על ידי משוואות, מפסיד דרגות חופש. למשל, לכלי רכב יבשתי יש 4 דרגות חופש (שתיים לתיאור המקום, ושתיים לתיאור המהירות), ואילו לעץ תפוחים הנטוע במקום אחד יש רק שתי דרגות חופש. לדיסקית במשחק הוקי קרח יש 5 דרגות חופש: 4 לתיאור המקום והתנועה על המשטח הדו-ממדי, ועוד אחת לתיאור תנועת הסיבוב של הדיסקית סביב עצמה.

במקרים רבים, מספר דרגות החופש תלוי בחלק של המערכת שאותו מבקשים לתאר. לדוגמה, כדי להבין תאונת דרכים, ייתכן שיש צורך במשתנים רבים נוספים על המקום והמהירות: לחץ האוויר בכל גלגל, המסה הכוללת, הטמפרטורה, ועוד. אם מבקשים לדייק, מספר דרגות החופש מתאר את המודל המתמטי של המערכת הפיזיקלית (ובפרט, את החלק שאותו מעוניינים למדל), ולא את המערכת הפיזיקלית כולה.

לפי משפט העדר השיער, לחור שחור יש שלוש דרגות חופש: המסה, התנע הזוויתי, והמטען החשמלי.

דרגות חופש בסטטיסטיקה

המושג "דרגות חופש" הופיע לראשונה במאמר של פישר מ-1922 על מבחן כי בריבוע של טבלאות תלות. למשתנה מקרי המוגדר כסכום $\ X=Z_1^2+\dots+Z_n^2$, כאשר $\ Z_1,\dots,Z_n$ משתנים מקריים נורמליים סטנדרטיים ובלתי תלויים, יש התפלגות הקרויה "התפלגות כי-בריבוע עם n דרגות חופש". אם המשתנים קשורים על ידי המשוואה $\ Z_1+\dots+Z_n = 0$ (כפי שקורה למשל אם מחסירים מכל אחד מהם את הממוצע), אז X מתפלג כי-בריבוע עם n-1 דרגות חופש.

להתפלגויות כי בריבוע יש תפקיד מרכזי במבחנים סטטיסטיים עם מודלים לינאריים, כגון ניתוח שונות.