מונויד בראוור

מונויד בראוור הוא מונויד סופי המכיל את החבורה הסימטרית. עבור n קבוע, אברי המונויד ${\mathcal {B}}_{n}$ הם חלוקות של הקבוצה $1,\dots ,n,1',\dots ,n'$ ל-n זוגות. אפשר לצייר כל חלוקה כזו כמלבן בן שתי שורות, מ-$1$ עד $n$ בשורה העליונה ומ-$1'$ עד $n'$ בתחתונה, עם שרוכים המחברים נקודות בזוגות. המכפלה של שני איברים במונויד נעשית על ידי הצבת האיבר השני מתחת לראשון, זיהוי השורה העליונה באיבר השני עם השורה התחתונה באיבר הראשון, והרכבה של הפונקציות החלקיות שהאברים מגדירים. נקודות שהיו מחוברות בשורה העליונה של האיבר הראשון נשארות מחוברות, כמו גם נקודות שהיו מחוברות בשורה התחתונה של האיבר השני. עשויות להתקבל לולאות, הנספרות בנפרד. השמטת הלולאות מגדירה מונויד מנה, ${\tilde {\mathcal {B}}}_{n}$. חלוקות המגדירות התאמה בין השורה העליונה לתחתונה מהוות תמורות, והכפל שהגדרנו לעיל הוא במקרה כזה הרכבת התמורות. לכן החבורה הסימטרית $S_{n}$ מוכלת במונויד ${\mathcal {B}}_{n}$ (וגם במנה ${\tilde {\mathcal {B}}}_{n}$).

מונויד בראוור שייך למשפחה של אלגברות דיאגרמה, שהן מבנים אלגבריים שהפעולות שלהם מוגדרות באמצעות דיאגרמות וציורים. אם במקום חלוקות נראה כל מלבן כאיחוד של שרוכים, כדוגמת קשר או שזר, נקבל מונויד של סבכים (tangles). שני סבכים הם שווים אם אפשר לעבור ביניהם בצעדי ריידמייסטר השני (הרחקת שרוכים המונחים זה על גבי זה, זה מזה) והשלישי (העברת שרוך מעל או מתחת להצטלבות של שני שרוכים אחרים), אבל לא הראשון (התרת לולאה בשרוך נתון). מונויד הסבכים אינו נוצר סופית (אפילו כאשר n=2). תת-המונויד הנוצר על ידי הצמות שבהן נעשית פעולת הצלבה אחת, והסבך שבו מחוברות זו לזו שתי נקודות סמוכות וכך גם הנגדיות להן בשורה האחרת, הוא מונויד Birman-Murakami-Wenzl, שמסמנים $BMW_{n}$. יש הטלה מן המונויד הזה למונויד בראוור (שכח את המבנה הטופולוגי).

דוגמאות נוספות שאפשר לשייך לאותה משפחה הן אלגברות טמפרלי-לייב (Temperley-Lieb) ואלגברת בירמן-מורקמי-ונזל (Birman–Murakami–Wenzl), ששתיהן שייכות לתורת הקשרים.

מונויד בראוור קרוי על שם ריכרד בראוור, אבי חבורת בראוור, אף כי המבנים אינם קשורים זה לזה.