משתמש:שריה אנסבכר/טיוטה

כפי שהוזכר לעיל, כדי לקבוע שהטור המוגדר ע"י $\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}$ מתכנס יש להגדיר אותו כסכום על קבוצה בת-מניה ובאופן שקול להגדיר סדרה העוברת על כל איברי הטור ללא חזרות. אם כן, תהא $\left(w_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ סדרה העוברת על כל המכפלות מהצורה $a_{i}b_{j}$ ללא חזרות (ראינו לעיל קיימים אינסוף סידורים כאלה ובפרט קיים לפחות אחד כזה), רוצה לומר לכל $i,j\in \mathbb {N}$ קיים $n\in \mathbb {N}$ יחיד כך ש-$w_{n}=a_{i}b_{j}$.

נתבונן בטור $\sum _{n=1}^{\infty }\left|w_{n}\right|$: יהי $N\in \mathbb {N}$ ונגדיר את $M$ להיות המקסימום של קבוצת האינדקסים המופיעה במכפלות המיוצגות ע"י האיברים $w_{1},w_{2},...,w_{N}$.

ליתר בהירות ננסח זאת בכתיב מתמטי:

$$M_{1}:=\max\{i\in \mathbb {N} \mid \exists n,j\in \mathbb {N} :n\leq N\land w_{n}=a_{i}b_{j}\}$$

$$M_{2}:=\max\{j\in \mathbb {N} \mid \exists n,i\in \mathbb {N} :n\leq N\land w_{n}=a_{i}b_{j}\}$$

$$M:=\max\{M_{1},M_{2}\}$$

מכאן שמתקיים:

$$\sum _{n=1}^{N}\left|w_{n}\right|\leq \left(\sum _{n=1}^{M}\left|a_{n}\right|\right)\left(\sum _{n=1}^{M}\left|b_{n}\right|\right)$$

שכן כל הנסכמים באגף שמאל מופיעים גם באגף ימין ועליהם נוספים איברים אי-שליליים (או שלא נוספים איברים כלל ואז מתקיים שוויון ממש). כלומר לכל $N\in \mathbb {N}$ ניתן לחסום את $\sum _{n=1}^{N}\left|w_{n}\right|$ מלעיל ע"י מכפלת סכומים חלקיים של הטורים $\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|$ ו-$\sum _{n=1}^{\infty }\left|b_{n}\right|$ הסוכמים איברים עד לאותו האינדקס.

מהיות $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ו-$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ טורים המתכנסים בהחלט נובע שהגבולות $\lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=1}^{N}\left|a_{n}\right|$ ו-$\lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=1}^{N}\left|b_{n}\right|$ קיימים ולכן מאריתמטיקה של גבולות גם הגבול של המכפלה $\lim _{N\rightarrow \infty }\left(\sum _{n=1}^{N}\left|a_{n}\right|\right)\left(\sum _{n=1}^{N}\left|b_{n}\right|\right)$ קיים, מכאן שהטור $\sum _{n=1}^{\infty }\left|w_{n}\right|$ חסום ומכיוון שהוא טור חיובי (ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו מונוטונית עולה) הדבר גורר שהוא גם מתכנס, כלומר הטור $\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}$ מתכנס בהחלט.

עד כאן הוכחנו שהטור המוגדר ע"י $\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}$ מתכנס בהחלט, כעת נוכיח שהוא מתכנס ל-$AB$.

נזכר שכל טור המתכנס בהחלט הוא טור מתכנס בעצמו (כלומר הטור $\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}$ מתכנס), ובנוסף כל טור המתקבל ממנו ע"י שינוי סדר האיברים מתכנס לאותו סכום אליו מתכנס הטור המקורי, מכאן שנוכל להגדיר סדרה חדשה העוברת על כל המכפלות מהצורה הנ"ל אך בסדר שיָקֵל עלינו לחשב את סכום הטור שלה, וסכום זה יהיה שווה לסכום המבוקש. ואכן, נתבונן בסידור של איברי המכפלה מהצורה הבאה:

$$a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{1}b_{1}+a_{1}b_{0}+a_{0}b_{2}+a_{1}b_{2}+a_{2}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{2}b_{0}+...$$

כפי שהוכח לעיל זהו טור המתכנס לסכום של $\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}$ ולכן גם כל טור המתקבל ממנו ע"י הכנסת סוגריים יתכנס לאותו סכום, מכאן שאם נמצא הכנסת סוגריים כך שהטור המתקבל ממנה מתכנס ל-$AB$ נסיים את ההוכחה. ואכן, נתבונן בהכנסת הסוגריים הבאה:

$${\displaystyle a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{1}+a_{1}b_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{2}+a_{2}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{2}b_{0})+...}$$

זהו הטור $\sum _{n=1}^{\infty }\left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot \sum _{j=1}^{n}b_{j}\right]$ שסכומו הוא $\lim _{N\rightarrow \infty }\left(\sum _{n=1}^{N}a_{n}\right)\left(\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right)$ ומאריתמטיקה של גבולות נקבל:

$$\sum _{n=1}^{\infty }\left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot \sum _{j=1}^{n}b_{j}\right]=\lim _{N\rightarrow \infty }\left(\sum _{n=1}^{N}a_{n}\right)\left(\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right)=\lim _{N\rightarrow \infty }\left(\sum _{n=1}^{N}a_{n}\right)\cdot \lim _{N\rightarrow \infty }\left(\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right)=AB$$