שיחת פורטל:מתמטיקה/חידה/55

ההוכחה היא באינדוקציה:

בסיס האינדוקציה- עבור ריבוע בגודל 2X2 ברור כי ניתן לרצף את הלוח עם טרומינו L כך הפינה הימנית תישאר לא מרוצפת (ע"י טרומינו L אחד).

הנחת האינדוקציה- ניתן לרצף כל ריבוע בגודל $2^{n}\times 2^{n}$ עם טרומינו L, כך שהפינה הימנית תישאר לא מרוצפת.

צעד האינדוקציה- אוכיח כי ניתן לרצף ריבוע בגודל $2^{n+1}\times 2^{n+1}$. ריבוע כזה מורכב מארבעה ריבועים בגודל $2^{n}\times 2^{n}$ שלפי הנחת האינדוקציה אפשר לרצף עם טרומינו L ולהשאיר את הפינה הימנית לא מרוצפת. אקח ארבעה ריבועים כאלה בגודל $2^{n}\times 2^{n}$ (כך שהפינה הימנית שלהם לא מרוצפת) ואניח אותם אחד ליד השני כך שהם יוצרים ריבוע. לכל ריבוע כזה יש פינה לא מרוצפת, ולכן אשים אחד מהריבועים כך שהפינה הימנית של הריבוע הגדול תהיה לא מרוצפת. כמו כן, את שלושת הריבועים הנותרים, אשים כך שהפינה הלא מרוצפת של שלושתם תהיה סמוכה במרכז הריבוע, זה יצור צורה לא מרוצפת של L שאותה ניתן לכסות עם טרומינו L. כך נוצר ריבוע בגודל $2^{n+1}\times 2^{n+1}$ כך שהפינה הימנית שלו לא מרוצפת.

אני מקווה שהייתי ברור מספיק בניסוח שלי...יעקב יעקב - שיחה

אני לא הבנתי, אתה יכול לצרף איורים? (ואח"כ גם נעביר את הפתרון שלך לדף הראשי). אם תעשה זאת אני אוסיף פתרון אחר שאני מצאתי. 17:54, 8 באוגוסט 2008 (IDT) ―טוקיוני (שיחה | תרומות | מונה) לא חתם ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

זו הייתה גם ההוכחה שלי (הוכחה באינדוקציה בהמלצת גולומב). רצוי מאוד שיהיו איורים, אחרת קשה להבין את ההוכחה שהיא מאוד יפה ואינטואיבית. הייתי אפילו מצרף אותה כדוגמה לערך אינדוקציה מתמטית. אבינעם - שיחה 22:08, 8 באוגוסט 2008 (IDT)

בסיס האינדוקציה - ריבוע 2X2 מרוצף בL טרומינו

תראו אילו תמונות נפלאות הוספתי, ממש תענוג לעיניים.יעקב יעקב - שיחה 23:06, 8 באוגוסט 2008 (IDT)

ארבעה ריבועים בגודל 4X4 מרכיבים מרוצפים בL טרומינו מרכיבים ריבוע אחד בגודל 8X8 מרוצף בL טרומינו

אולי גרסא טובה יותר של התמונה הצבעונית מדי

יופי של תמונות. לדעתי צריך תמונה שמראה את צעד האינדוקציה, דהיינו איור שבו מחלקים את הריבוע הגדול ללא פינה ל-4 ריבועים ללא פינה + טרומינו, ולהביא את התמונה של 8x8 כדוגמה. בברכה, אבינעם - שיחה 01:55, 9 באוגוסט 2008 (IDT)

יופי, יעקב אנא הוסף את הפתרון לערך. הדרך שלי מנוסחת אחרת אבל מובילה לאותו פתרון. טוקיוני 10:03, 9 באוגוסט 2008 (IDT)

לקח לי זמן להבין שאני יעקב.יעקב יעקב - שיחה 19:01, 9 באוגוסט 2008 (IDT)

הכללה של הטענה

שמעתי על טענה כזו עבור ריבוע nXn לכל n שהוא לא כפולה של 3, וגם הצלחתי להוכיח אותה. האם כדאי לצרף אותה כחידת בונוס? 5.29.135.154 00:39, 23 בדצמבר 2015 (IST)