עקרון הסה

במתמטיקה, העיקרון המקומי-גלובלי של הלמוט האסה, הידוע גם כעקרון האסה, הוא הרעיון שניתן למצוא פתרון במספרים שלמים למשוואה על ידי שימוש במשפט השאריות הסיני כדי לתפור יחד פתרונות של המשוואה מודולו החזקות של המספרים הראשוניים לכדי פתרון שלם. כדי לעשות זאת חוקרים את המשוואה בהשלמות של המספרים הרציונליים: המספרים הממשיים והמספרים הפיאדיים. גרסה פורמלית יותר של עקרון האסה קובעת שלסוגים מסוימים של משוואות יש פתרון רציונלי אם ורק אם יש להם פתרון במספרים הממשיים ובמספרים ה p-אדיים עבור כל p ראשוני.

רעיון אינטואיטיבי

בהינתן משוואה פולינומית עם מקדמים רציונליים, אם יש לה פתרון רציונלי, אזי פתרון זה מניב גם פתרון ממשי וגם פתרון פיאדי, שכן הרציונלים משוכנים בממשיים ובפיאדיים. במילים אחרות, פתרון בשדה גלובלי מניב פתרונות בשדות המקומיים המתאימים להשלמה של השדה בכל המקומות. עקרון האסה שואל מתי אפשר לעשות הפוך, או ליתר דיוק, שואל מהן המגבלות שעלולות למנוע מאיתנו לתפור העומדות בדרכנו י החסימה: מתי אפשר להצמיד פתרונות על הריאליים והפיאדיים כדי להניב פתרון על פני הראציונלים: מתי אפשר לחבר פתרונות מקומיים ליצירת פתרון גלובלי ?

תבניות המייצגות את אפס

תבניות ריבועיות

משפט האסה-מינקובסקי קובע שהעיקרון המקומי-גלובלי תופס לבעיה של ייצוג אפס על ידי תבנית ריבועית באמצעות המספרים הרציונליים. התוצאה עבור שדה המספרים הראציונלים היא של הרמן מינקובסקי, ובאופן כללי יותר התוצאה תקפה עבור כל שדה מספרים, כפי שהוכח על ידי האסה. במקרה הכללי יש להניח כי התבנית מייצגת את אפס בכל השדות המקומיים המתאימים. משפט האסה על הרחבות ציקליות של שדות קובע שהעיקרון המקומי-גלובלי חל על התנאי של היותו של אבר נורמה יחסית בהרחבה ציקלית של שדות מספרים.

תבניות קוביות

דוגמה נגדית של ארנסט ס. סלמר מראה שלא ניתן להרחיב את משפט האסה-מינקובסקי לתבניות מדרגה 3: למשוואה $$3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}=0$$ יש פתרון במספרים ממשיים, ויש פתרון בכל השדות הפיאדים, אבל אין לה פתרון לא טריוויאלי במספרים ראציונליים.

רוג'ר הית'-בראון הראה שכל תבנית קובית מעל המספרים השלמים בלפחות 14 משתנים מייצגת 0, שיפור בהשוואה לתוצאות קודמות של Davenport. מכיוון שכל צורה קובית מעל המספרים הפיאדים עם לפחות עשרה משתנים מייצגת 0, העיקרון המקומי-גלובלי מתקיים באופן טריוויאלי עבור צורות מעוקבות על פני הרציונלים בלפחות 14 משתנים. אם מצטמצמים לתבניות לא סינגולריות, אפשר לקבל תוצאות חזקות יותר: הית' בראון הוכיח שכל צורה קובית לא סינגולרית מעל המספרים הרציונליים ב-10 משתנים לפחות מייצגת 0, ובכך ביסס באופן טריוויאלי את עקרון האסה עבור מחלקה זו של תבניות.

ידוע כי התוצאה של הית' בראון היא החזקה ביותר במובן זה שקיימות תבניות מעוקב לא יחידות על פני הרציונלים ב-9 משתנים שאינם מייצגות אפס. עם זאת, הולי הראה שעקרון האסה תופס לייצוג 0 על ידי תבניות קוביות לא סינגולריות מעל המספרים הרציונליים בתשעה משתנים לפחות. דבנפורט, הית'-בראון והולי השתמשו כולם בשיטת המעגל של הארדי-ליטלווד בהוכחותיהם.

לפי רעיון של Manin, ניתן לקשור את המכשולים להתקיימות עקרון האסה בתבניות קוביות, לתיאוריה של חבורות Brauer. זוהי Manin-Brauer obstruction , אשר אחראית לחלוטין לכישלון עקרון האסה עבור כמה מחלקות של יריעות. עם זאת, סקרובוגטוב הראה ש Manin-Brauer obstruction אינה יכולה להסביר את כל הכשלים של עקרון האסה.

תבניות מדרגה גבוהה

דוגמאות נגדיות של פוג'יווארה וסודו מראות שמשפט האסה-מינקובסקי אינו ניתן להרחבה לתבניות מדרגה 10n + 5, כאשר n הוא מספר שלם לא שלילי.

מצד שני, משפט Birch מראה שאם d הוא מספר טבעי אי-זוגי כלשהו, ​​אז יש מספר N(d) כך שכל תבנית מדרגה d ביותר מ-N(d) משתנים מייצגת 0: עקרון האסה מתקיים באופן טריוויאלי.

משפט אלברט-בראואר-האסה-נותר

משפט זה קובע עיקרון מקומי-גלובלי לפיצול של אלגברה פשוטה מרכזית A על פני שדה מספרים K. הוא קובע שאם A מתפצלת בכל השלמה $K_{v}$ אז היא איזומורפית לאלגברת מטריצות מעל K.

חבורות אלגבריות

עקרון האסה לחבורות אלגבריות קובע שאם G היא חבורה אלגברית פשוטת קשר המוגדרת על פני השדה הגלובלי k, אז ההעתקה $H^{1}(k,G)\rightarrow \prod _{s}H^{1}(k_{s},G)$ היא חד חד ערכית. המכפלה באגף ימין נלקחת על פני כל המקומות s של השדה הגלובלי k. יש וריאציה קצת יותר מסובכת עבור חבורות שאינן פשוטות קשר, ועקרון האסה עבור החבורה אורתוגונלית $O(Q)$ קשור קשר הדוק לעקרון האסה עבור התבנית הריבועית Q.

קנסר (1966) ואחרים אימתו את עקרון האסה על ידי הוכחות פרטניות לכל חבורה אלגברית (פשוטת קשר). המקרה האחרון היה החבורה $E_{8}$ שהושלמה על ידי צ'רנוסוב בשנת 1989, שנים רבות לאחר המקרים האחרים.

עיקרון האסה לחבורות אלגבריות שימש בהוכחות של השערת וייל למספרי טמאגאווה ומשפט הקירוב החזק.

ראו גם

Local analysis משפט גרונאוולד-ואנג השערת העקמומיות הפיאדית של גרותנדיק-קאטס