אי-שוויון הסכומים של צ'בישב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, אי-שוויון הסכומים של צ'בישב קובע שאם \ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n ו- \ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n הן שתי סדרות של מספרים, המסודרות באותו כיוון, אז ממוצע המכפלות חוסם את מכפלת הממוצעים, כלומר \ \frac{1}{n}\sum_i a_i \cdot \frac{1}{n}\sum_i b_i \leq \frac{1}{n}\sum_i a_i b_i.

אי השוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב, שהציג אותו.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

למשפט ידועות כמה הוכחות, והכללות רבות. למשל,

  • הגרסה המשוקללת: אם \ p_1+\cdots+p_n=1 הם מספרים חיוביים ו-\ a_i,b_i כמקודם, אז \ \sum p_i a_i \cdot \sum p_i b_i \leq \sum p_i a_i b_i.
  • גרסת המשתנים המקריים: אם X משתנה מקרי בדיד ו- f,g פונקציות מונוטוניות עולות (במובן החלש), אז \ E(f(X))E(g(X))\leq E(f(X)g(X)); כלומר, בין שתי פונקציות עולות של אותו משתנה מקרי יש מתאם חיובי.
  • הגרסה הרציפה: אם f,g פונקציות ממשיות אינטגרביליות על הקטע [0,1], ושתיהן מונוטוניות עולות, אז  \int_0^1 f(x)dx \int_0^1 g(x)dx \leq \int_0^1 f(x)g(x) dx.\, .

הוכחת אי-השוויון[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכיוון שהמספרים \ a_1,\dots,a_n, b_1,\dots,b_n סדורים באותו כיוון, לכל \, i,j מתקיים \ 0\leq (a_j-a_i)(b_j-b_i), כלומר \ a_ib_j+a_jb_i \leq a_i b_i+a_jb_j. סיכום לכל i ולכל j נותן \ 2\sum_i a_i \sum_j b_j=\sum_{i,j}(a_ib_j+a_jb_i) \leq \sum_{i,j}(a_ib_i+a_jb_j) = 2n\sum_{i}a_ib_i.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • The Cauchy-Shwartz Master class, J. Michael Steele, עמ' 76-78.