אי-שוויון קושי-שוורץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, אי-שוויון קושי-שוורץ הוא אי-שוויון הקושר את המכפלה הפנימית והנורמה במרחבי מכפלה פנימית. מכיוון שמרחבים וקטוריים רבים מצוידים במכפלה פנימית טבעית, יש לאי-השוויון של קושי-שוורץ שימושים בתחומים שונים של המתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגרסה הראשונה של אי-השוויון, אותה גילה אוגוסטין קושי ב- 1821, קובעת ש- \ a_1b_1+\dots+a_nb_n \leq \sqrt{a_1^2+\dots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+\dots+b_n^2} כאשר \ a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n הם מספרים ממשיים. לאי-שוויון יסודי זה ידועות היום עשרות רבות של הוכחות. קושי הוכיח גם ששויון מתקיים רק כאשר הווקטורים \ (a_1,\dots,a_n) ו- \ (b_1,\dots,b_n) פרופורציוניים זה לזה.

ב- 1859 הציג ויקטור יקובלביץ' בוניקובסקי (1804-1889) את הגרסה האינטגרלית של אי-השוויון: \ \int_a^b f(x)g(x)dx \leq \left(\int_a^b f(x)^2dx\right)^{1/2}\cdot \left(\int_a^b g(x)^2dx\right)^{1/2}. בוניקובסקי לא ראה צורך בהוכחה נפרדת של אי-השוויון החדש, והסתפק בציטוט אי-השוויון של קושי.

ב-1885 הזדקק הרמן שוורץ, שישב אז באוניברסיטת גטינגן, לאי-השוויון \ \iint f\cdot g \leq \left(\iint f^2\right)^{1/2}\cdot \left(\iint g^2\right)^{1/2}, המשווה בין אינטגרלים כפולים. מאוחר יותר הובנו שלושה אי-שוויונות אלה כמקרים פרטיים של הגרסה הכללית יותר, התקפה בכל מרחב מכפלה פנימית (ראו להלן).

שוורץ לא הכיר את ניסוחו של בוניקובסקי, וההוכחה שהציג לאי-השוויון שלו מתאימה לכל מרחב מכפלה פנימית (הוכחה זו, הנעזרת בתכונות פשוטות של פולינום ריבועי, מובאת בהמשך). משום כך נקרא אי-השוויון הכללי אי שוויון קושי-שוורץ.

אי-השוויון במרחבי מכפלה פנימית, ושימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בצורתו המודרנית, אי-שוויון קושי שוורץ קובע שאם \ V הוא מרחב מכפלה פנימית (מעל הממשיים או המרוכבים), אז לכל \ x,y\isin V מתקיים

\ |\langle x,y\rangle|\le\|x\|\cdot\|y\|,

כאשר \ \|x\|=|\langle x,x\rangle|^{1/2} מסמן את הנורמה המושרית על \ V מן המכפלה הפנימית.
שוויון ממש מתקיים אם ורק אם \ x,y תלויים לינארית.

אחת התוצאות החשובות של אי-שוויון זה היא שהוא מאפשר להגדיר זווית \theta בין שני וקטורים x,y במרחב מכפלה פנימית לפי המשוואה \ \cos(\theta)=\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\cdot\|y\|}, שהרי שבר זה מהווה מקדם מתאם בין \ x ל-\ y ולכן ערכו נע בין \ -1 ל- \ 1. במקרה של המכפלה הפנימית הסטנדרטית במישור האוקלידי \ \mathbb{R}^2 או במרחב התלת-ממדי, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקובלת של זווית.

בין המקרים הפרטיים של אי-השוויון, ניתן למצוא את הטענות

\ \left(\sum_{k=1}^{n}x_k y_k\right)^2\leq \sum_{k=1}^{n}x_k^2\cdot \sum_{k=1}^{n}y_k^2

ו-

\ \left|\int{f(x)\overline{g(x)}\,\mathrm dx}\right|^2 \leq \int{|f(x)|^2\,\mathrm dx}\cdot \int{|g(x)|^2\,\mathrm dx}

המתקבלות מן המקרים \ V=\mathbb{R}^n ו-\ V=L^2(X) (המרחב L2) עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית בכל מקרה.

הוכחת אי-השוויון[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם אחד הווקטורים שווה ל-0, אי השוויון מתקיים באופן טריוויאלי כי שני האגפים שווים לאפס. לכן נניח כי \ x,y\ne 0.

כעת יהא \ \lambda\isin\mathbb{R} כלשהו. ההוכחה מתאימה גם למקרה שבו מרחב המכפלה הפנימית V הוא מרחב וקטורי ממשי, וגם למקרה שבו הוא מרוכב.

נפתח את הביטוי \ \| x+\lambda\langle x,y\rangle y \|^2. פיתוח ביטוי זה יתן לנו משוואה ריבועית ב-\ \lambda , ומכיוון שאנו יודעים שערך הביטוי תמיד גדול או שווה לאפס, נוכל להסיק מכך שהדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית קטנה או שווה לאפס. מאי השוויון המתקבל נפיק את אי שוויון קושי-שוורץ.

פיתוח הביטוי:

\  0\le\| x+\lambda\langle x,y\rangle y \|^2=
\langle x+\lambda\langle x,y\rangle y,x+\lambda\langle x,y\rangle y\rangle
=


=
\langle x,x\rangle+\overline{\lambda\langle x,y\rangle}\langle x,y\rangle+\lambda\langle x,y\rangle\langle y,x\rangle+\lambda^2\left|\langle x,y\rangle\right|^2\langle y,y\rangle=

\ =\|x\|^2+\lambda\overline{\langle x,y\rangle}\langle x,y\rangle+\lambda\langle x,y\rangle\overline{\langle x,y\rangle}+\lambda^2\left|\langle x,y\rangle\right|^2\|y\|^2
=


=

\lambda^2\left|\langle x,y\rangle\right|^2\|y\|^2+2\left|\langle x,y\rangle\right|^2\lambda+\|x\|^2

קיבלנו פולינום ריבועי במקדמים ממשיים במשתנה \ \lambda, שערכו תמיד גדול או שווה לאפס.

פירוש הדבר הוא שהדיסקרימיננטה של הביטוי תמיד קטנה או שווה לאפס (הפרבולה שמיוצגת על ידי המשוואה לכל היותר נוגעת בציר \ x אך אינה עוברת מתחתיו, ולכן יש למשוואה פתרון אחד לכל היותר).

על כן, נקבל מחישוב הדיסקרימיננטה:

\ 4\left|\langle x,y\rangle\right|^4-4\left|\langle x,y\rangle\right|^2\|x\|^2\|y\|^2\le 0.

אם \ \langle x,y\rangle=0 אי שוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן טריוויאלי (כי אגף ימין בו תמיד חיובי או אפס). לכן נניח כי \ \langle x,y\rangle\ne 0, נעביר אגפים ונחלק ב-\ 4 \left|\langle x,y\rangle\right|^2.

נקבל:

\ \left|\langle x,y\rangle\right|^2\le\|x\|^2\|y\|^2.

הוצאת שורש ריבועי משני האגפים נותנת לנו את אי שוויון קושי-שוורץ.

הוכחה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו \ x,y\isin V שני וקטורים במרחב מכפלה פנימית, ונוכיח את אי-השוויון. אם \ x=0 או \ y=0, ברור כי מתקיים שוויון. נניח מעתה \ x\ne0 וכן \ y\ne0. נגדיר את הווקטור \ u באופן הבא: u= x - \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2}. נשים לב כי \ u ניצב ל-\ y: שני וקטורים הם ניצבים אם ורק אם המכפלה הפנימית ביניהם היא אפס. במקרה זה:


\left\langle u,y \right\rangle =
\left\langle x - \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2},y
\right\rangle
=
\left\langle x, y\right\rangle -
\frac{\langle x,y\rangle\cdot \langle y,y\rangle }
{\|y\|^2}
=


=
\left\langle x, y\right\rangle -
\frac{\langle x,y\rangle\cdot \|y\|^2}{\|y\|^2}
=
\left\langle x, y\right\rangle -\langle x,y\rangle = 0

מכאן, נחשב את  \|u\|^2 = \left\langle u,u \right\rangle :


\left\langle u,u \right\rangle =
\left\langle  u,x - \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2}
\right\rangle =
\left\langle  u,x \right\rangle  -
\left\langle u,\frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2}
\right\rangle =


\quad 
=\left\langle  u,x \right\rangle  -
\frac{\overline{\langle x,y\rangle}\cdot\left\langle  u,y\right\rangle}{\|y\|^2}
=
\left\langle  u,x \right\rangle

ומכאן:


\left\langle u,u \right\rangle =
\left\langle u,x \right\rangle =

\left\langle  x - \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2},x
\right\rangle =
\left\langle  x,x \right\rangle  -
\left\langle \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2},x
\right\rangle =


=\left\langle  x,x \right\rangle  -
\frac{\langle x,y\rangle\cdot\left\langle  y,x\right\rangle}{\|y\|^2}
=
\left\|  x \right\|^2  -
\frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\|y\|^2}

כלומר, הראינו כי 0\le\|u\|^2\ = \|x\|^2 - \frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\|y\|^2}

ומכאן:

|\langle x,y\rangle|^2\le \|x\|^2\|y\|^2 או |\langle x,y\rangle|\le \|x\|\|y\|.

(הוכחה זו תקפה רק עבור מרחבי מכפלה פנימיים מעל \ \mathbb{R})

אי שוויון המשולש[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי שוויון המשולש במרחבים נורמיים בהם הנורמה מושרית ממרחב מכפלה פנימית, נובע מאי שוויון קושי-שוורץ:


| \langle x,y\rangle  | \le  \|x\|\|y\|


2 | \langle x,y\rangle  | \le  2\|x\|\|y\|


\|x\|^2 + 2 | \langle x,y\rangle | + \|y\|^2  \le  \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 = ( \| x\| +\| y\| )^2

לפי הגדרת הנורמה במרחבי מכפלה פנימית:

\  {\|x + y\|}^2 = \langle {x+y},{x+y}\rangle

נפתח את הביטוי על ידי שימוש בתכונות המכפלה הפנימית ונקבל:

\langle {x+y},{x+y}\rangle = \langle x,x\rangle + \langle x,y\rangle + \langle y,x\rangle +\langle y,y \rangle = \| x\| ^2 + \langle x,y\rangle  +\overline {\langle x,y\rangle} + \|y\| ^2

 \quad  = \| x\| ^2 + 2 Re \langle x,y\rangle + \|y\| ^2 \le \| x\| ^2 + 2 | \langle x,y\rangle | + \|y\| ^2

\ {\|x + y\|}^2 \le \|x\|^2 + 2 | \langle x,y\rangle | + \|y\|^2  \le {(\|x\|+|y\|)}^2

בשני האגפים מופיע מספר אי-שלילי שהועלה בריבוע, ולכן ניתן להוציא שורש:

\  \|x + y\| \le \|x\|+\|y\|

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]