אי-שוויון התמורות

אי-שוויון התמורות הוא אי-שוויון שימושי המאפשר למצוא תמורות שנותנות ערך מקסימלי.

האי-שוויון קובע כי: אם נתונות שתי N-יות סדורות בעלות n אברים, a ו-b, כך שאיברי a מסודרים מהקטן לגדול (נסמן אותם ב- $a_1, a_2 ..., a_n$) ו-b בסדר מסוים (ומסומנים גם הם $b_1, b_2, ..., b_n$), אז הביטוי $a_1 b_1+a_2 b_2+...+a_n b_n$ מקבל ערך מקסימלי כאשר גם איברי b מסודרים מהקטן לגדול. ערך מינימלי מתקבל כאשר הם מסודרים מהגדול לקטן.

הוכחה

טענת עזר: אם $a_1 < a_2$ ו-$b_1 < b_2$, אז $a_1 b_2+a_2 b_1 < a_1 b_1+a_2 b_2$. הוכחה: ביטוי שקול הוא

$0 < a_1 b_1+a_2 b_2-a_1 b_2-a_2 b_1$ או

$0 < (a_1 -a_2)(b_1-b_2)$. כיוון שהביטויים בסוגריים הם שליליים, המכפלה שלהם חיובית.

הוכחת האי-שוויון: ניקח תמורה כלשהי על b ונחשב את הביטוי. נשים לב שאם קיימים שני מספרים i>j כך ש-$b_i<b_j$, אז נוכל להחליף ביניהם ולהגדיל את ערך הביטוי (על פי טענת העזר). נמשיך בתהליך עד שנגיע למצב שאיברי b מסודרים לפי הסדר. כיוון שבכל שלב הגדלנו את ערך הביטוי, הרי שבסיכומו של דבר הגדלנו אותו ולכן בתמורה שבה איברי b מסודרים לפי הסדר הערך גדול יותר מאשר זאת שבחרנו. כיוון שהסבר זה לא תלוי מאיזה תמורה התחלנו, הוא נכון לכל תמורה, ולכן התמורה בה איברי b מסודרים לפי הסדר היא זאת שנותנת את הערך המקסימלי.

ההוכחה שכאשר איברי b מסודרים מהגדול לקטן מתקבל ערך מינימלי אנלוגית לחלוטין.