התפלגות אחידה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התפלגות אחידה (רציפה)
פונקציית צפיפות ההסתברות
Uniform distribution PDF.png
פונקציית ההסתברות המצטברת
Uniform distribution CDF.png
מאפיינים
פרמטרים a, b \in (-\infty,\infty) (יכול להיות גם איחוד של מספר קטעים)
תומך x\in (a,b)
פונקציית הסתברות

(pmf)

פונקציית צפיפות הסתברות

(pdf)


f(x)dx = 
\begin{cases} 
  \frac{1}{b-a},  & x\in (a,b) \\
  0, & \mbox{otherwise }
\end{cases}
פונקציית ההסתברות המצטברת

(cdf)

\ F_X(x) =\begin{cases}
0, & x\le a\\
 \frac{x-a}{b-a}, & a\le x\le b\\
1, & b\le x
\end{cases}
תוחלת \frac{a+b}{2}
חציון \frac{a+b}{2}
ערך שכיח \frac{a+b}{2}
שוֹנוּת \frac{(b-a)^2}{12}
אנטרופיה \ \ln(b-a)
פונקציה יוצרת מומנטים

(mgf)

\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}
צידוד  \ 0
גבנוניות -\frac{6}{5}

התפלגות אחידהאנגלית: Uniform distribution) היא התפלגות שבה לכל האיברים בקבוצה סופית הסתברות שווה.

יש שני טיפוסים של התפלגויות אחידות:

  1. התפלגות אחידה בדידה (באנגלית: Discrete) היא התפלגות המניבה מספר סופי של ערכים אפשריים, שכולם שווי הסתברות. כך לדוגמה מתפלגת התוצאה של הטלת מטבע הוגן, הטלת קוביה הוגנת, סיבוב רולטה או שליפה מחפיסת קלפים שנטרפה היטב. כמו כן, ניתן להשתמש במדידות של מצבים קוונטיים כדי לייצר משתנים מקריים אחידים. אולם כל אלה הם מכשירים פיזיים או מכניים, הסובלים מפגמים והפרעות, כך שההתפלגות האחידה היא רק קירוב של התנהגותם. במחשבים ספרתיים, סדרות פסאודו אקראיות משמשות ליצירת התפלגות בדידה אחידה אקראית מבחינה סטטיסטית.
  2. בהתפלגות אחידה רציפה (באנגלית: Continuous) המשתנה המקרי \ X מקבל ערכים בקטע \ [a,b] כאשר פונקציית ההסתברות המצטברת היא \ F_X\left(x\right) = \frac{x-a}{b-a}. כלומר, ההסתברות של כל קטע היא האורך היחסי שלו בתוך [a,b], ופונקציית צפיפות ההסתברות קבועה ושווה ל- \ \frac{1}{b-a}. במקרה זה מסמנים \ X \sim U\left(a,b\right).

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסטטיסטיקה, כשמשתמשים ב-p-value כמבחן סטטיסטי להשערת אפס פשוטה, וההתפלגות של המבחן הסטטיסטי רציפה, אז

p-value מתפלג אחיד בין 0 ל-1 כאשר השערת האפס נכונה.

לשפות תכנות רבות יש את היכולת לייצר מספריים פסאודו-אקראיים שמתפלגים אחיד לפי התפלגות אחידה סטנדרטית. אם u הוא ערך שנדגם מהתפלגות אחידה סטנדרטית, אז הערך a+(b-a)u מתפלג אחיד עם הפרמטרים a ו-b כמתואר לעיל.

בהיבט התיאורטי הרבה מאלגוריתמי מונטה קרלו משתמשים בדגימה מההתפלגות הזו (בין 0 ל-1) כדי לייצר דגימות רנדומליות מהתפלגויות אחרות. מצד שני, יש מעטי תהליכים שיש להם את הצורה הזו של אי וודאות, לדוגמא: המיקום הספציפי של מולקולת אוויר בחדר, הנק' בגלגל המכונית כשהתקר הבא יתרחש ומספר השניות שעברו בדקה בזמן הנוכחי.

התפלגות אחידה סטנדרטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגבלת הפרמטרים a=0 b=1 , נקראת התפלגות אחידה סטנדרטית ומסומנת \ X \sim U\left(0,1\right) . מאפיין של התפלגות זאת הוא שאם \ X \sim U\left(0,1\right) אז גם \ 1-X \sim U\left(0,1\right) .

ניתן להשתמש בהתפלגות אחידה סטנדרטית על מנת ליצור משתנים רנדומלים דרך הצבת ערכים אלו בפונקצית ההתפלגות המצטברת של משתנה מקרי אותו רוצים ליצור בסימולציה.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]



P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.