פונקציה חלקה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, פונקציה חלקה היא פונקציה שגזירה אינסוף פעמים, כלומר לכל n טבעי הנגזרת ה-n-ית קיימת.

קבוצת כל הפונקציות החלקות מסומנת \,C^\infty. הסימון הזה הוא חלק מסימון כללי יותר:

  • את קבוצת כל הפונקציות הרציפות מסמנים \ C^0 או רק \ C (לפעמים עם ציון התחום שעליו הפונקציות מוגדרות).
  • לכל n טבעי מסמנים ב \ C^n את קבוצת כל הפונקציות שגזירות n פעמים בכל נקודה בתחום, ושהנגזרת ה-n-ית שלהן רציפה על כל התחום.

הקבוצה \,C^\infty מוגדרת להיות החיתוך של כל הקבוצות \ C^n, כלומר  f\in C^\infty אם ורק אם \ f\in C^n, לכל n \in \mathbb{N}.

תכונות בסיסיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם f פונקציה חלקה אז גם הנגזרת של f חלקה. יתר על כן, קל לראות ש- \,C^\infty היא הקבוצה המקסימלית שבה פעולת הגזירה היא באמת אופרטור (כלומר לכל  f\in C^\infty קיימת נגזרת, \frac{df}{dx}, והיא בתוך \,C^\infty).
  • אם f,g פונקציות חלקות אז גם הסכום, המכפלה וההרכבה שלהן חלקות.
  • כל פונקציה אנליטית היא פונקציה חלקה (ובפרט כל הפונקציות האלמנטריות הן חלקות בכל תחום הגדרתן) אבל לא להפך.

לרב השימושים באנליזה מספיקות פונקציות גזירות פעמיים או שלוש אבל נוהגים להשתמש בפונקציות חלקות כדי לפשט את הניסוח של ההגדרות והמשפטים.

הפונקציות החלקות הן מאוד "גמישות". לדוגמה ניתן לבנות פונקציה חלקה ששווה ל-1 על קבוצה סגורה A, ומתאפסת מחוץ לסביבה פתוחה של A, כאשר גם את A וגם את הסביבה הפתוחה אפשר לבחור כרצוננו. דבר כזה הוא בלתי אפשרי בפונקציות אנליטיות כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על קטע סגור כלשהו אז היא זהותית אפס. בדומה, ניתן לבנות חלוקות יחידה חלקות, אך לא ניתן לבנות חלוקות יחידה אנליטיות. על ידי פונקציות כאלו ניתן לבנות לכל פונקציה רציפה פונקציה חלקה שקרובה אליה כרצוננו.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]