אופרטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, אופרטור או פעולה, הוא סוג של פונקציה, הפועלת על מספר, קבוע או משתנה, של איברים בקבוצה, ותוצאתה היא איבר בקבוצה. האיברים שעליהם פועל האופרטור נקראים אופרנדים.

"פעולות" - אופרטורים יסודיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקובלת הבחנה בין אופרטורים לפי מספר האופרנדים שהם פועלים עליהם:

  • אופרטור יונארי או פעולה יונארית: אופרטור הפועל על איבר בקבוצה, ותוצאתו היא איבר בקבוצה. בניסוח פורמלי יותר: פעולה יונארית היא פונקציה מהקבוצה אל עצמה. פעולה יונארית על קבוצה \ S היא הפונקציה \ f:S\rarr S.
  • אופרטור בינארי או פעולה בינארית: אופרטור הפועל על שני איברים בקבוצה (לא בהכרח שונים זה מזה), ותוצאתו היא איבר בקבוצה. בניסוח פורמלי יותר: פעולה בינארית היא פונקציה מזוגות סדורים של אברי הקבוצה, אל הקבוצה, ובסימון מתמטי: \ f:S\times S\rarr S.
  • אופרטור טרנארי הפועל על שלושה איברים בקבוצה, וכך הלאה.

מקובלות שלוש שיטות לכתיבתם של אופרטורים:

  • פרפיקס: תחילה נכתב האופרטור ואחריו האופרנדים.
תבנית: \ Q(x_1,x_2,\dots,x_n).
כאשר לאופרטור מספר קבוע של אופרנדים, מושמטים לעתים הסוגריים בעת כתיבתו.
דוגמה: האופרטור קוסינוס נכתב בצורה \ \cos x
  • פוסטפיקס: תחילה נכתבים האופרנדים ואחריהם האופרטור.
תבנית: \ (x_1,x_2,\dots,x_n)Q.
כאשר לאופרטור מספר קבוע של אופרנדים, מושמטים לעתים הסוגריים בעת כתיבתו.
דוגמה: האופרטור עצרת נכתב בצורה \ n!
  • אינפיקס: האופרטור נכתב בין שני האופרנדים.
תבנית: \ x_1 Q x_2.
דוגמה: האופרטור חיבור נכתב בצורה \ 3+4
זוהי צורת הכתיב המקובלת לאופרטורים בינאריים נפוצים, כגון ארבע פעולות החשבון.

בכתיב המקובל נהוג שילוב של השיטות, בהתאם לצורת הרישום המקובלת של כל אופרטור. הנוסחה \ \log(x) + n!, למשל, משלבת את שלוש השיטות. כתיב פולני הוא טכניקת רישום שבמסגרתה נכתבות כל הנוסחאות בשיטת פרפיקס. למשל, במקום לכתוב \ 2+3 נכתוב בכתיב פולני \ +2,3.

האופרטורים המוכרים ביותר, כגון ארבע פעולות החשבון, פועלים על מספרים, אך אופרטור הוא מושג כללי יותר, וישנם אופרטורים הפועלים על עצמים מתמטיים אחרים. אופרטור הנגזרת, למשל, הוא אופרטור אונארי, הפועל על פונקציה, ותוצאתו אף היא פונקציה. אופרטור בוליאני פועל על הערכים "אמת" ו"שקר" בלבד.

ביטוי הכולל אופרטורים אחדים יש לפרש ולחשב בהתאם לכללי קדימות אופרטורים.

אופרטורים לינאריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בענפי המתמטיקה של אנליזה מתמטית ואלגברה לינארית, המונח אופרטור מציין טרנספורמציה לינארית בין מרחבים וקטוריים, לעתים קרובות ממרחב אל עצמו. בשימוש הנפוץ באנליזה, אופרטור הוא התאמה שמקבלת פונקציה (בדרך כלל ממשית או מרוכבת) ומחזירה במקומה פונקציה אחרת.

אופרטור דיפרנציאלי הוא אופרטור שמערב נגזרות. לדוגמה: האופרטור \ A = {d \over dx} + g(x) הוא אופרטור דיפרנציאלי ופעולתו על פונקציה כלשהי \,f היא \!\, Af(x) = f'(x) + g(x)f(x).

השימוש באופרטורים כאלה נפוץ במיוחד באנליזה מתמטית של מרחבי בנך ומרחבי הילברט. על מרחבים אלה אפשר להגדיר תכונות כגון חסימות, רציפות, סגירות ושלמות של אופרטור. על מרחבי הילברט אפשר אף להגדיר על אופרטור תכונות הדומות לאלה של מטריצות כגון הפיכות, סימטריות, הרמיטיות ועוד.

במכניקת הקוונטים, כל הגדלים המדידים מוגדרים באמצעות אופרטורים הרמיטיים.