פורטל:מתמטיקה/חידה/105

הוכיחו שקיים מספר שמתחלק ב- $5^{100}$ וכל ספרותיו אי-זוגיות.

פתרון

ראשית נשים לב שספרת האחדות של

5^{100}

היא 5. נבנה מספר המקיים את הדרישה באופן הבא:

ראשית ניקח את $5^{100}$ . נסתכל על ספרת העשרות שלו. האם היא זוגית או אי-זוגית? במקרה זה ניתן לראות שהיא 2, כלומר זוגית, ועל כן נוסיף $10\cdot 5^{100}$ ונקבל ספרת עשרות אי-זוגית. נעבור לספרת המאות. אם היא אי-זוגית, נתעלם, אך אם היא זוגית בשלב זה, נוסיף את $100\cdot 5^{100}$ ונקבל ספרת מאות אי-זוגית. וכך ניתן להמשיך על כל ספרה (לא לעשות כלום אם היא אי-זוגית, ולהוסיף $10^{n}\cdot 5^{100}$ אם היא זוגית, כאשר n הוא מספרה הסידורי) ולאחר 100 פעמים נקבל מספר עם 100 ספרות אחרונות אי-זוגיות. (תשומת לב שהמספר שהתקבל עדיין מתחלק ב- $5^{100}$ , כי הוספו רק כפולות שלו). כעת נזכיר את סימן ההתחלקות של $5^{n}$ : מספר מתחלק ב- $5^{n}$ אם ורק אם n הספרות האחרונות שלו מתחלקות ב- $5^{n}$ . בפרט, מהמספר שבנינו ניתן לקחת את 100 הספרות האחרונות ולקבל מספר שמתחלק ב- $5^{100}$ וכל ספרותיו אי-זוגיות, כמבוקש.