פורטל:מתמטיקה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

Gnome-colors-view-refresh.svg רענון הפורטל Netvibes.svg כיצד אוכל לעזור?    

P mathematics.svg

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

לערך המלא

כתב החידה מתוך ספרו של ז'ול ורן "מסע אל בטן האדמה"

קריפטוגרפיה היא ענף במתמטיקה ובמדעי המחשב העוסק באלגוריתמים של אבטחת מידע על רבדיה השונים, ובביסוס המתמטי שלהם. תחום הקריפטוגרפיה מאגד תחתיו נושאים רבים ובהם: הצפנה של מידע חסוי ממי שלא הוסמך לראותו; אימות זהות (כמו באמצעות סיסמה) ובקרת הרשאות גישה; פרוטוקולים להוכחת ידיעה, כמו פרוטוקול אתגר מענה והוכחה באפס ידע; מנגנוני חתימה דיגיטלית לאימות זהות המקור ומניעת התכחשות, והבטחת שלמות המידע.

קריפטוגרפיה מודרנית נמצאת בשימוש ביישומים מעשיים רבים, החל מאבטחת רשתות תקשורת (גם אלחוטיות כמו רשת סלולרית), דרך דואר אלקטרוני, מסחר אלקטרוני, כרטיסי אשראי ואבטחת מסופי משיכת מזומנים.

Dome of the rock golden ratio.jpg

יחס הזהב הוא קבוע מתמטי המעסיק את המדע והאמנות כבר מאות בשנים. יחס הזהב, שערכו כ- 1.618, מסומן באות היוונית פי (\varphi). זהו יחס המייצג מידות וגדלים רבים בטבע והחל מתקופת יוון הקלאסית הוא גם משמש באמנות ובאדריכלות. בתמונה, מוצגת כיפת הסלע שעל פי טענות מסוימות מידותיה נבנו על פי יחס זה.

אם מכונית עוברת מרחק של 100 קילומטר בשעתיים, בהכרח היה רגע במהלך הנסיעה שבו מהירותה הייתה בדיוק 50 קמ"ש. תוצאה זו מובטחת על ידי משפט הערך הממוצע של לגראנז' הקובע כי עבור פונקציה רציפה וגזירה בתחום מסוים, קיימת בהכרח נקודה בה קצב ההשתנות הממוצע של הפונקציה (במקרה הזה העתק לפי זמן או "מהירות ממוצעת") שווה לקצב ההשתנות הרגעי של הפונקציה (המהירות הנקודתית).

Benq joybook transparent.png

בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

אתר היום: לא מדויק

לא מדויק הוא הבלוג של ד"ר גדי אלכסנדרוביץ', שבו עוסק המחבר בקשת רחבה של נושאים, מכל תחומי המתמטיקה ומדעי המחשב. העיסוק הוא מנקודת מבט מתקדמת, אך נעשה מאמץ להנגשתם לציבור רחב ככל האפשר של קוראים.

Pascal1423.jpg

בְּלֶז פסקל (צרפתית: Blaise Pascal) ‏(19 ביוני 1623 - 19 באוגוסט 1662), מתמטיקאי, פיזיקאי ופילוסוף צרפתי. איש מדע רב-תחומי, שפעולותיו חבקו תחומים רבים ומגוונים.

בהיותו בן 16 הציג פסקל את עבודתו המתמטית הראשונה, שעסקה בגאומטריה פרויקטיבית. כעבור זמן קצר פרסם פסקל את עבודתו על חתכי חרוט. משנת 1642 טרח במשך שלוש שנים על המצאת מכונת חישוב מכנית - פסקלין, מעין מחשבון שביצע רק פעולות חיבור וחיסור. הוא המציא זאת כדי לעזור לאביו בעבודתו כגובה מס. מכונת חישוב זאת פעלה על עקרון גלגלי שיניים והיוותה בסיס למכונות חישוב מכניות מסוג זה שפעלו עד שבאו לעולם מכונות החישוב האלקטרוניות.

פסקל עסק במתמטיקה ועל שמו קרוי משולש פסקל המשמש להצגת מקדמי הבינום, כמו כן תרם גם לתורת המספרים. בפיזיקה עסק בחקר הנוזלים (הידרודינמיקה והידרוסטטיקה). על שמו קרויות יחידת המידה ללחץ פסקל, ושפת התכנות פסקל.

Article MediumPurple.svg
Cquote2.svg

סטטיסטיקה אינה חלופה לשיקול דעת

Cquote3.svg
הנרי קליי

בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

ספר היום:

What is the name he.jpg

ריימונד סמוליאן, מה שמו של ספר זה? - תעלומת דרקולה וחידות היגיון אחרות, תרגם מאנגלית: עידו אמין, כנרת בית הוצאה לאור, 2006

ריימונד סמוליאן הוא מתמטיקאי, לוגיקן ופילוסוף אמריקאי, שצבר מוניטין גם כמחברם של ספרי חידות, שלפתרונן נדרש שימוש בלוגיקה. באחרית דבר לספר עמד מאיר גולדברג על ייחודו של סמוליאן:

"סמוליאן מתרגל את קוראיו בנושאים מתקדמים הנלמדים באוניברסיטה. הוא מתחיל בגרעין מצומצם של נושאים שנבחרו בקפידה, רוקם סביבם עלילה פנטסטית, ומתוך העלילה וחוקי המרחב הפנטסטי שיצר, הוא שואב שפע של חידות ובעיות לוגיות, שעשועים ותגליות בזעיר אנפין. מתוך התמודדות עם החידות הללו, הקוראים לומדים פרקים שלמים בלוגיקה מבלי להזדקק לטרמינולוגיה המקובלת בתחום".

נתונים 10 שקים. בכל אחד מהם נמצאים המון מטבעות. כל המטבעות שוקלים 1 גרם, מלבד שק אחד שהמטבעות בו מזויפים ושוקלים 2 גרם. ברשותך מאזניים דיגיטליים שנותנים משקל מספרי. מהו המספר הקטן ביותר של שקילות שדרוש כדי למצוא את השק המזויף?

פתרון

ניקח מטבע אחד מהשק הראשון, שניים מהשק השני, שלושה מהשלישי וכן הלאה. אם כל השקים היו אמיתיים היה אמור להיות סכום של 55 (ראו מספר משולשי) ההפרש בין המשקל שיצא לבין 55 הוא השק המזויף (כי כל מטבע שהוצא ממנו מוסיף 1 גרם לסכום הכולל). לפיכך המספר המבוקש הוא 1.

אותה חידה, אלא שהפעם כל שק יכול להיות מזויף או אמיתי. כמה שקילות דרושות הפעם?

פתרון

הפעם נוציא מטבע אחד מהשק הראשון, שניים מהשני, ארבעה מהשלישי ובאופן כללי 2^{n-1} מהשק ה-nי. אילו כל השקים היו אמיתיים, הסכום היה 1023. נסתכל על ההפרש בין המספר שיצא לבין 1023 ונרשום אותו בבסיס בינארי. איפה שהספרה היא 1, סימן שהשק הוא מזויף. לפיכך התשובה היא שוב 1.


לחידות נוספות, לחידות קשות יותר
משפטים מפורסמים

המשפט האחרון של פרמהמשפט פיתגורסמשפטי האי-שלמות של גדלהמשפט היסודי של האריתמטיקה
מיון החבורות הפשוטותמשפט ארבעת הריבועים של לגראנז'משפט המינימקסמשפט השאריות הסיני
לרשימת המשפטים

השערות מפורסמות

השערת גולדבךהשערת רימןהשערת פואנקרההשערת הראשוניים התאומיםמשפט ארבעת הצבעיםP=NP
לרשימת הבעיות הפתוחות במתמטיקה

מבט אל הלוח – משפט או השערה מפורסמים

משפט החתונה, שמיוחס למתמטיקאי פיליפ הול, הוא משפט בקומבינטוריקה, שנותן תנאי הכרחי ומספיק לבחירת נציגים ייחודיים עבור משפחה של קבוצות.

נניח שיש לנו קבוצת נשים וקבוצת גברים וכל אישה מעוניינת בקבוצה חלקית כלשהי של הגברים. נשאלת השאלה, באילו תנאים ניתן לשדך לכל אישה גבר שהיא מעוניינת בו (באופן מונוגמי כמובן). ברור כי תנאי הכרחי הוא שמספר הגברים יהיה לפחות כמספר הנשים. ניתן להכליל דרישה זו לכל קבוצת נשים. כלומר, תנאי הכרחי הוא שכל \!\,k נשים תהינה מעוניינות בלפחות \!\,k גברים. משפט הול טוען כי תנאי זה הינו גם תנאי מספיק. נוסח לא פורמלי (אם כי מדויק לחלוטין) זה הוא שהעניק למשפט את כינויו.

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים

נושאים במתמטיקה
כמות אינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים
שינוי אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית
מבנה אלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים
מרחב אלגברה לינארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג
מתמטיקה בדידה חישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים
יסודות ושיטות לוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות
מתמטיקה יישומית אופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית
עולם המתמטיקה הוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט

תורת ההחלטות היא תחום במתמטיקה המסייע בקבלת ההחלטה הטובה ביותר לאור מידע נתון. כמעט בכל המקרים ניצבות בפני המחליט שתי בעיות:

  • אין דרך פשוטה לכמת באופן מתמטי ידע או השלכות של אירוע.
  • המידע הקיים אינו שלם ולכן יש להעריך (לרוב באופן הסתברותי) את המידע החסר.

בקבלת החלטות עוסקים באפשרויות לקבל החלטה (Actions או Alternatives) כאשר לכל החלטה יש משמעויות (Consequences).

תחום זה, כמו חקר ביצועים ותורת המשחקים, פותח בזמן מלחמת העולם השנייה (למרות שעסקו בו גם לפני כן) ובמשך המלחמה הקרה. כיום משמשים מודלים בקבלת החלטות לקבלת החלטות בתחומים רבים כמו רפואה, כלכלה ומדעי המחשב בניסיון לפתח מערכות שיסייעו בקבלת החלטות.

לערך המלא

לרשימת כל הערכים בתחום

מבט על תחומים נוספים

משפטים מתמטיים חשובים ושימושיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים

P computing.svg
P At sign.png
P physics-2.png
P chemistry.svg
P Economy.png
P Computer-science.png
מחשבים אינטרנט פיזיקה כימיה כלכלה מדעי המחשב

ערכים המחפשים עורכים

Exquisite-kwrite.png

דיונים, ייעוץ ועזרה


מהו פורטל? - רשימת כל קטגוריות המשנה והערכים