פורטל:מתמטיקה
המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.
מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.
המלון של הילברט הוא סיפור שבו השתמש המתמטיקאי הנודע דויד הילברט בהרצאות פופולריות שנתן, והוא בא להמחיש בצורה נאה את התכונות המיוחדות של קבוצות אינסופיות, תכונות מפתיעות למדי למי שמורגל לעסוק רק בקבוצות סופיות.
הסיפור מדבר על בית מלון, שחדריו ממוספרים בסדר עולה: 1, 2, 3, וכו'. להבדיל ממלון רגיל, מספר החדרים במלון זה הוא אינסופי, כלומר לכל מספר טבעי קיים במלון חדר שזה מספרו (קבוצת המספרים הטבעיים היא קבוצה אינסופית אך בת מנייה, כלומר ניתן למנות את אבריה לפי סדרם).
הסיפור מתחיל כאשר כל החדרים במלון תפוסים ואורח חדש, ω, מגיע.
מכפלה וקטורית היא פעולה בינארית על שני וקטורים במרחב תלת ממדי, שמחזירה וקטור. בתמונה מופיע כלל עזר למציאת כיוונה המוכר בשם "כלל יד ימין": אם האצבעות מתוות את הקשת הקצרה מהווקטור הראשון לווקטור השני, האגודל מצביע בכיוון תוצאת המכפלה.
המתמטיקאי והלוגיקאי קורט גדל היה בפירוש פלאוטוניסט בהשקפתו המתמטית. גדל התפרסם בעיקר בזכות משפטי האי שלמות שלו, שהשפיע השפעה מכרעת על הלוגיקה המתמטית בפרט ועל המתמטיקה בכלל, שמראים כי יש טענות מתמטיות שלא ניתן להוכיחן או להפריכן ושאי אפשר להוכיח את עקביותה של מערכת המכילה את אקסיומות פאנו, כלומר האקסיומות האריתמטיות הבסיסיות. גדל ראה את הוכחתו כמכת מחץ לפורמליזם וכצידוק לגישתו הפלאוטוניסטית, אך באופן אירוני הוכחתו תרמה רבות לפיתוח הפוסטמודרניזם, בניגוד מוחלט להשקפותיו.
בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.
אתר היום: מוזאון הכאוס הווירטואלי
עדות האתר על עצמו: "במוזאון זה תוכלו ללמוד על מדע הכאוס מתוך משחקי אינטרקציה, תמונות והסברים. המוזאון מיועד לכל מי שחש משיכה למדע ולכאוס בפרט. השתדלתי להעביר את הנושאים העיקריים של מדע הכאוס בשפה פשוטה ככל האפשר כך שמרבית התצוגות מיועדות לגילאים 14 עד 114."
ג'ון פורבס נאש הבן (נולד ב-13 ביוני 1928), מתמטיקאי אמריקאי המתמחה בתורת המשחקים וגאומטריה דיפרנציאלית.
בשנת 1994 קבל פרס נובל לכלכלה, עבור עבודתו החלוצית משנות ה-50 בתורת המשחקים. עם הישגיו האקדמיים הבולטים נמנים פתוח 'שיווי משקל נאש' ופתרון 'בעיית המיקוח של נאש', המהווים מושגי יסוד בפתרון בעיות 'משחקים שיתופיים' ו'משחקים אי-שיתופיים' בתורת המשחקים בתחומי הכלכלה, הביולוגיה ומדע המדינה. הקריירה האקדמית המזהירה של נאש עומדת בצל מחלת הסכיזופרניה, שבה לקה בסמוך לפריצתו כמתמטיקאי מחונן בשנות ה-50. בשל המחלה נפסקה הקריירה האקדמית של נאש למשך כ-30 שנה (1966-1996) ורק בשנות ה-90 שב לחקר המתמטיקה.
נאש נולד בבלופילד שבמערב וירג'יניה, בן לג'ון נאש האב, טכנאי אלקטרוניקה, ווירג'יניה מרטין, מורה לשפות. בשנים (1945-1948) למד לתואר ראשון ושני במכון הטכנולוגי קרנגי בפיטסבורג, פנסילבניה (כיום אוניברסיטת קרנגי מלון), והוכתר על ידי מוריו כגאון. ב-1950 קבל נאש תואר דוקטור מאוניברסיטת פרינסטון על חיבורו "משחקים אי-שיתופיים". בעבודה זו פיתח לראשונה את פתרונו הבסיסי למשחקים אי-שיתופיים שזכה מאוחר יותר לכינוי 'שיווי משקל נאש'. 40 שנה מאוחר יותר, ב-1994, זיכתה אותו עבודתו זו משנותיו הראשונות בפרינסטון בפרס נובל לכלכלה. על עבודה זו קיבל נאש ב-1978 גם את פרס ג'ון פון ניומן לתאוריה.
 |
יצירת מספרים אקראיים היא פעולה חשובה מכדי להניח אותה ליד המקרה. |  |
| – רוברט קוביו | ||
בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.
ספר היום:
פול הופמן, האיש שאהב רק מספרים - סיפורו של פאול ארדש וחיפושו אחר האמת המתימטית, תרגום: דרורה בלישה, הוצאת מטר, 2001.
הספר הוא ביוגרפיה של פאול ארדש, מתמטיקאי יהודי יליד הונגריה, שחי בארצות הברית, ובמדינות נוספות ובהן ישראל. ארדש עסק בעיקר בתורת המספרים ובמתמטיקה בדידה, ופרסם מעל ל-1,500 מאמרים בתחומים אלה, רובם הגדול עם מחברים-עמיתים.
מחבר הספר, פול הופמן, עוסק בפופולריזציה של המדע, כמנחה טלוויזיה, ככותב של ספרי מדע פופולרי וכעורך של כתב העת "דיסקבר".
במשחק הכדורסל שינו את שיטת הנקודות: כל סל רגיל מהשדה שווה A נקודות, וכל קליעה חופשית מקו העונשין שווה B נקודות, ונתון ש- A>B. שמו לב, שבשיטת ניקוד חדשה זו - שום קבוצה לעולם לא מגיעה לסכומי נקודות מסוימים. בסך הכל קיימים 35 סכומי נקודות ששום קבוצה לעולם לא יכולה להגיע אליהם, ואחד מהם הוא 58. מצאו את A ו-B.
| פתרון | ||
|---|---|---|
|
של 
, כאשר 
מספרים טבעיים" ידועה כ
מספרים כאלה.
, אבל B=2 אינו אפשרי משום שמספר זה מחלק את 58. מאידך המספרים A,B זרים (אחרת יש אינסוף ערכים שלא ניתן להציג כצירוף שלם שלהם), ונותרת האפשרות 
; 58 אכן אינו צירוף טבעי של שני מספרים אלה.המשפט האחרון של פרמה • משפט פיתגורס • משפט אי השלמות של גדל • המשפט היסודי של האריתמטיקה
מיון החבורות הפשוטות • משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' • משפט המינימקס • משפט השאריות הסיני
לרשימת המשפטים
השערת גולדבך • השערת רימן • השערת פואנקרה • השערת הראשוניים התאומים • משפט ארבעת הצבעים • P=NP
לרשימת הבעיות הפתוחות במתמטיקה
משפט ארבעת הצבעים הוא תוצאה בולטת בהיסטוריה של הטופולוגיה הקומבינטורית ושל תורת הגרפים. לפי המשפט, אפשר לצבוע כל מפה מדינית, באופן שכל שתי מדינות בעלות קו גבול משותף נצבעות בצבע שונה, תוך שימוש בארבעה צבעים בלבד. מתמטיקאים החלו לחקור את הבעיה באמצע המאה התשע-עשרה. היא נודעה כ'השערת ארבעת הצבעים', וזכתה ל'הוכחות' שגויות רבות.
בניסוח מודרני, המשפט מבטיח שלכל גרף מישורי קיימת צביעת קודקודים בארבעה צבעים. אנשי תורת הגרפים מכירים הוכחות קלות יחסית לכך שקיימת צביעה בחמישה צבעים, אבל ההוכחה לכך שאפשר להסתפק בארבעה נמצאה רק ב- 1976, והיא כרוכה בחיפוש ממוחשב על-פני אלפי מקרים. זו הייתה ההשערה המפורסמת הראשונה שהוכחה בעזרת מחשב, ובתחילה לא הייתה הסכמה כללית על תקפות ההוכחה, בעיקר בנימוק שלא הוכחה נכונותן של תוכניות המחשב עצמן. מאז נעשו נסיונות רבים למצוא הוכחה סטנדרטית יותר, שיכולה לעמוד לביקורת עמיתים. הוכחה כזו עדיין לא נמצאה.
האיור משמאל מציג מפה סכמטית של ארבע מדינות, שלכל אחת מהן יש גבול משותף עם כל האחרות. לכן לא ניתן לצבוע אותה בפחות מארבעה צבעים.
|
נושאים במתמטיקה
|
||
|---|---|---|
| כמות | אינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים | |
| שינוי | אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית | |
| מבנה | אלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים | |
| מרחב | אלגברה לינארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג | |
| מתמטיקה בדידה | חישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים | |
| יסודות ושיטות | לוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות | |
| מתמטיקה יישומית | אופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית | |
| עולם המתמטיקה | הוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט | |
אלגברה בסיסית הוא שמו המודרני של הענף המתמטי מתחום האלגברה העוסק בביטויים מתמטיים שבהם מיוצגות כמויות שערכן המספרי אינו ידוע באמצעות סמלים, ובביצוע מניפולציות אלגבריות של ביטויים כאלה. הביטויים האמורים מורכבים בעזרת ארבע פעולות החשבון, ופעולות כמו חזקה, שורש ולוגריתם, מסמלי היסוד, שהם "משתנים" ו"פרמטרים". תכליתן של המניפולציות האלגבריות עשויה להיות העברת ביטוי לצורה פשוטה יותר, או פתרון משוואות העשויות לייצג בעיות תאורטיות או מעשיות.
לאלגברה הבסיסית שימוש רב במתמטיקה ובכל יתר המדעים המדויקים. באמצעות הכלים שמספקת האלגברה הבסיסית, מתוארות מערכות מתמטיות וטבעיות רבות על ידי משתנים ופרמטרים המרכיבים משוואות המתארות את הקשרים הכמותיים המאפיינים את המערכות.
- כאן אפשר למצוא ערימה של קצרמרים מתמטיים שרק מחכים שירחיבו אותם.
- מה שווים דף בקשת ערך ודף בקשת תמונות ואיורים אם לא מתייחסים אליהם?
- ישנם ערכים שאי אפשר שיישארו במצבם הנוכחי וצריך לעבור עליהם ולתקן אותם בהקדם, ראו מסגרת "ערכים דורשי שיפור".
- להסבר על עריכת נוסחאות מתמטיות ראו עזרה:נוסחאות.
מצאו ערכים לשיפור בנושא מתמטיקה: דורשי שכתוב • דורשי עריכה • דורשי השלמה • קצרמרים • חדשים • דורשי מקורות • לפישוט • בלי תמונה (יש לגלול את המסך כלפי מטה)
