שיחה:השערת הרצף

שלום - לא כדאי להסיר את הקטגוריה "בעיות פתוחות", בהתחשב בכך שזו כבר לא באמת בעיה פתוחה? אורי 29.5.05

הקטגוריה, במהותה, כוללת גם בעיות שנפתרו אך היו פתוחות למשך זמן רב. כמובן, אפשר להתווכח על כך - אבל המקום הנכון יותר לעשות זאת הוא בדף השיחה של הקטגוריה עצמה. גדי אלכסנדרוביץ' 18:06, 29 מאי 2005 (UTC)

השערת הרצף המוכללת.

א. לדעתי, ההכללה לא נכונה. אנמק את דברי:

  i. תהי קבוצה {1,2,3)=A.
  ii. בין עוצמת הקבוצה הזו לבין עוצמת הקבוצה של 2 בחזקת העוצמה לעוצמת הקבוצה (P(A,  שהיא {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} קיימת, למשל, עוצת הקבוצה {1,2,3,4,5}.

יש לומר, "בהינתן קבוצה אינסופית S". ב. לדעתי יש לתקן את המונח הצורם "שתיים בחזקת עוצמת S", ל"עוצמתה של (P(S", ולהגדיר על כן את (P(S (כאשר (P(S היא קבוצת כל הקבוצות הניתנות לבנייה מאברי S).

אקסיומת הבחירה

לא הבנתי את המשפט "השערת הרצף חזקה די הצורך לגרור גם את אקסיומת הבחירה.". האם השערת הרצף, כאשר מניחים באקסיומה שהיא נכונה, גוררת את אקסיומת הבחירה להיות נכונה? ואם השערת הרצף לא נכונה? אני מבקש להרחיב את המשפט ולהסביר. משתמש:אנונימי 51 - שיחה 00:26, 26 באוגוסט 2010 (IDT)

השערת הרצף המוכללת ואקסיומת הבחירה

איך מוכיחים את אקסיומת הבחירה כאשר מניחים את השערת הרצף המוכלת? -- רועי.ס - שיחה 20:31, 25 בנובמבר 2012 (IST)

הנה קישור למאמר ממש מוצלח (מהויקי האנגלית) [1], הוא מסביר גם את הבסיס של אקסיומת הבחירה וגם את המשפט לגבי השקילות. ההוכחה היא אמנם ממש אלגנטית ויפה אבל לדעתי לא מתאימה לויקי (קצת ארוכה), אז אני לפחות לא מתכנן להוסיף אותה לערך. אני אוסיף את הקישור גם לגוף הערך לשם ההגינות. יאיר ח. - שיחה 21:23, 25 בנובמבר 2012 (IST)

אתה מצפה ממני לקרוא 10 עמודים באנגלית בגיל 12? -- רועי.ס - שיחה 14:51, 26 בנובמבר 2012 (IST)

זה לא נראה לי כל כך מופרך בהינתן רמת השאלה... אני אתן תקציר של תרגום של המאמר:

ההוכחה מורכבת ממספר חלקים. (כל פעם שאני כותב "עוצמה" אני מתכוון לעוצמה אינסופית)

קודם כל, נקרא לעוצמה של קבוצה סדורה היטב "מספר אלף" (כמו אלף אפס). עוצמות אלו יהיו חשובות כיוון שכל קבוצה שעוצמתה קטנה או שווה למספר אלף היא בעצם (לפי ההגדרה, על כדי שינוי שמות) תת-קבוצה של קבוצה סדורה היטב, ולכן סדורה היטב בעצמה, ועוצמתה היא מספר אלף. לכן אנחנו בעצם רוצים להראות שכל עוצמה היא מספר אלף.

השלב הבא הוא לשים לב שאם A קבוצה אז יש מספר אלף שאינו קטן מ-|A|. זה נובע מכך שאפשר להסתכל על הסודר הראשון $\alpha$ שגדול ממש יותר מכל טיפוסי הסדר שאפשר לייצר מאוספים של תתי קבוצות של A, שסדורים היטב על ידי הכלה. סודר זה מקביל במובן קצת חלש למונה העוקב של |A| (שאנחנו לא יכולים להגדיר ללא אקסיומת הבחירה). כאן שוב אנחנו מנצלים את העובדה שלקבוצה סדורה היטב יש איזומורפיזם קנוני לסודר (במובן של פון-נוימן למשל, כדי שהוא יהיה מוגדר היטב), ושלכל קבוצת סודרים יש חסם עליון (שהוא איחודה במקרה של ההגדרה של פון נוימן). מה שחשוב ב-$\alpha$ זה שאם נניח כי קיימת פונקציה חח"ע מ-A אליו אז נקבל מתוכה אוסף של תתי קבוצות של A, סדורות היטב, מטיפוס סדר $\alpha$, הוא יהיה פשוט $\{f^{-1}(\beta )|\beta <\alpha \}$.

נסמן: $\aleph (|A|)=|\alpha |$ (כי זה מספר אלף) ובסימונים קיבלנו $|A|\not \geq \aleph (|A|)$.

השלב הבא הוא לשים לב שמכאן נובע שאם כל זוג עוצמות ניתנות להשוואה אז כל עוצמה היא מספר אלף ולכן אקסיומת הבחירה מתקיימת (פשוט תשווה את |A| לאלף של |A|). כבר הראנו תוצאה די מגניבה שהטריכוטמיה של העוצמות (כלומר שלכל זוג עוצמות תמיד או שהן שוות או שאחת גדולה מהאחרת) שקולה לבחירה.

השלב הבא הוא להוכיח שהשערת הרצף המוכללת גוררת שכל עוצמה היא מספר אלף. בשביל זה נשים לב לכמה עובדות פשוטות שנכונות גם בלי בחירה:

• • • • $\aleph (x)\leq 2^{2^{2^{x}}}$ (יש שם שלוש העלאות בחזקה. בבנייה עברנו פעמיים לקבוצת החזקה וכשדיברנו על "טיפוסי הסדר" של דברים בעצם עברנו לחיות בקבוצת החזקה השלישית)
      • אם $p\geq \aleph _{0}$ (שזה יותר מלהגיד עוצמה אינסופית בלי AC) אז: $2^{p}+p=2\cdot 2^{p}=2^{p}$
      • אם a,p עוצמות כך שמתקיים $a+p=2^{p},\,\,2p=p$ אז $a\geq 2^{p}$

נניח A קבוצה. כדי שהעוצמות שנתעסק בהן יקיימו את התנאים של העובדות לעיל נגדיר $m=2^{\aleph _{0}+|A|}$ ונראה שיש מספר אלף גדול יותר מ-m ובכך נסיים (כי הוא גדול יותר גם מ-|A|).

נסתכל על ארבע העוצמות הבאות:

$p_{0}=m$

$p_{1}=2^{p_{0}}$

$p_{2}=2^{p_{1}}$

$p_{3}=2^{p_{2}}$

כעת מגיעה הנקודה המרכזית: לכל n=1,2,3 אם $\aleph (m)\leq p_{n}$ ו-m איננו מספר אלף אז $\aleph (m)\leq p_{n-1}$.

מכאן, לפי ה-* הראשונה והאבחנה הראשונה לגבי האלף של m (שהוא לא קטן יותר מ-m) נקבל כי בהכרח m מספר אלף, וניצחנו.

איך מוכיחים את זה?

אם מתקיימת ההנחה אז $p_{n-1}\leq p_{n-1}+\aleph (m)\leq p_{n}=2^{p_{n-1}}$ (כאן אנחנו משתמשים בכוכבית השניה), אבל לפי השערת הרצף המוכללת אחד מאי השיוויונות הוא שיוויון! אם $\aleph (m)+p_{n-1}=p_{n}$ אז נקבל ש-$\aleph (m)\geq p_{n}\geq m$ (זו הכוכבית השלישית), ולכן m הוא מספר אלף, ואם השיוויון השמאלי מתקיים אז $\aleph (m)\leq p_{n-1}$.

אני מקווה שזה כתוב בצורה מספיק ברורה... יאיר ח. - שיחה 19:59, 26 בנובמבר 2012 (IST)

אבל איך בונים את האוסף המקסימלי של תתי קבוצות של A, הסדורות ע"י יחס ההכלה? (ודרך אגב, אם עוד-לא הבנת, אני רק בן 12 ואני לא טוב באנגלית כמו שאני טוב במתמטיקה) -- רועי.ס - שיחה 15:37, 28 בנובמבר 2012 (IST)

אנחנו לא מחפשים אוסף מקסימלי של תתי קבוצות של A, אלא סודר שגדול יותר (ביחס הסדר של הסודרים) מכל טיפוסי הסדר שניתן לקבל מתוך אוספים של תתי קבוצות של A, שבמקרה סדורים היטב תחת הכלה. הרי כשאנחנו אומרים שטיפוס הסדר של אובייקט כלשהו הוא x אנחנו בעצם מתכוונים ש-x הוא סודר ושקיימת העתקה שומרת סדר חח"ע ועל ביניהם. אם אתה מכיר סודרים אז אתה יודע כבר (ואם לא אז זה קל לברר) שהאיזומורפיזם הוא יחיד ו-x הוא יחיד ומוגדר היטב. כלומר לכל אוסף של תתי קבוצות של A שסדור היטב על ידי הכלה מתאים סודר יחיד x שהוא טיפוס הסדר שלו. (בגרסה האקסיומטית של תורת הקבוצות צריך עכשיו להעיר שאוסף כל הסודרים המתקבלים באופן הזה הוא קבוצה לפי אקסיומת ההחלפה). איחוד כל הסודרים המתקבלים הוא סודר גדול או שווה מכל הסודרים בקבוצה. סודר זה (או באופן קל יותר - העוקב שלו) הוא לא מיוצג על ידי שום אוסף של תתי קבוצות של A, והוא הסודר שקראנו לו "האלף של A". אם תחשוב על זה, ההוכחה בעצם מראה שאין אוסף מקסימלי של תתי קבוצות שסדורות היטב על ידי הכלה. אני מקווה שזה הבהיר (ולא עירפל) את העניין. יאיר ח. - שיחה 19:23, 28 בנובמבר 2012 (IST)

אני מבין, אבל איך מוכיחים שסודר זה באמת בעל עוצמה גדולה יותר מ-A? -- רועי.ס - שיחה 19:06, 29 בנובמבר 2012 (IST)

לא מוכיחים שהעוצמה שלו יותר גדולה, אלא שלא ייתכן שהיא יותר קטנה (כיוון שאנחנו לא יכולים להניח שהן ניתנות להשוואה, זה לא אותו הדבר). נניח בשלילה שהיא כן יותר קטנה, אז יש לנו העתקה חד חד ערכית מהסודר אל A. הפעלת ההעתקה על רישות של אותו סודר תתן אוסף של תתי קבוצות של A שסדר ההכלה שניהן הוא בדיוק סדר ההכלה של הרישות והוא בדיוק הסדר הקווי שמוגדר על הסודר, ובפרט הוא סדר טוב, בסתירה להגדרה של הסודר הנ"ל כסודר שגדול ממש מכל הסודרים שניתן להשיג כך. יאיר ח. - שיחה 00:16, 30 בנובמבר 2012 (IST)

אבל איך בונים את הפונקציה בין $2^{2^{2^{x}}}$ ל-$\aleph (x)$ המוכיחה שהראשון גדול יותר מהשני? -- רועי.ס - שיחה 18:50, 9 בדצמבר 2012 (IST)

זו באמת נקודה חשובה ששכחתי לציין - במהלך כל הדיון ההגדרה שלנו ל-$|B|\leq |C|$ היא שיש פונקציה חח"ע מ-B ל-C (ולא למשל פונקציה על מ-C ל-B). לגבי השאלה שלך, שים לב שכיוון ש-$\aleph (x)$ הוא הסופרימום של כל הסודרים שאפשר לממש את טיפוס הסדר שלהם על ידי יחס ההכלה של תתי קבוצות של x, איבריו הם בדיוק אותם סודרים, כלומר כל איבר a של האלף של x מתאים למחלקת שקילות של אוספים של תתי קבוצות של x (זוהי בדיוק קבוצת כל האוספים הסדורים היטב עם טיפוס סדר ששווה ל-a). כל מחלקת שקילות היא תת קבוצה של P(P(x))‎ ולכן זהו איבר של P(P(P(x)))‎. לכן הגדרנו פונקציה שהיא בבירור חח"ע בין שתי הקבוצות הרצויות. שים לב שכדי לעשות את זה היינו צריכים להשתמש בעובדה ש-$\aleph (x)$ הוא הסודר הראשון שאינו ממומש כטיפוס סדר של אוסף תתי קבוצות של A. יאיר ח. - שיחה 21:52, 9 בדצמבר 2012 (IST)

מהי עוצמה

שיהיה למשמרת: "לשתי קבוצות יש אותה עוצמה אם קיימת פונקציה מהקבוצה הראשונה לשנייה, המתאימה כל איבר בזו לאיבר אחד ויחיד בזו, כך שכל איבר בקבוצה השנייה מותאם לאיבר אחד ויחיד בראשונה, ולהפך". עוזי ו. - שיחה 17:54, 7 באפריל 2023 (IDT)

$2^{\aleph _{0}}$ זה א' או ב'?

בערך כתוב א', בעמוד הראשי כתוב ב'... רן כהן • שיחה 05:59, 26 בדצמבר 2023 (IST)

$\beth _{1}=\aleph _{1}$ זו בדיוק השערת הרצף. דוד שי - שיחה 08:32, 26 בדצמבר 2023 (IST)