השערת הרצף

בתורת הקבוצות, השערת הרצף היא טענה על עוצמה של קבוצות אינסופיות שהעלה מייסד תורת הקבוצות, גאורג קנטור. ההשערה קובעת שעוצמת הרצף $\ 2^{\aleph_0}$ היא העוצמה הקטנה ביותר שאינה בת מנייה, ובמלים אחרות שכל קבוצה אינסופית שאינה בת מנייה, היא לפחות בעלת עוצמת הרצף.

אחרי עשרות שנים שבהן בעיה זו הייתה פתוחה, הוכיחו קורט גדל ופול כהן כי היא אינה תלויה באקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות, אקסיומות צרמלו-פרנקל. העקביות של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה.

רקע

עוצמה היא דרך מדויקת להתייחס ל'גודל' של קבוצות אינסופיות. לשתי קבוצות יש אותה עוצמה אם קיימת פונקציה מהקבוצה הראשונה לשנייה, המתאימה כל איבר בזו לאיבר אחד ויחיד בזו, כך שכל איבר בקבוצה השנייה מותאם לאיבר בראשונה. קנטור הראה כי עוצמתה של קבוצת המספרים הטבעיים, שמסומנת $\aleph_0$, היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר. עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, המכונה עוצמת הרצף ומסומנת $\ \aleph$ (או $\ c$), שווה לעוצמה של קבוצת כל הקבוצות של מספרים טבעיים, אותה מסמנים ב- $\ 2^{\aleph_0}$. קנטור הראה באמצעות שיטת האלכסון שפיתח, כי העוצמה $\ 2^{\aleph_0}$ גדולה יותר מ- $\ \aleph_0$.

אף על פי שניסה, לא הצליח קנטור לבנות קבוצה שעוצמתה גדולה מ- $\ \aleph_0$ וקטנה מ- $\ 2^{\aleph_0}$, ולכן העלה את השערת הרצף שלפיה קבוצה כזו אינה קיימת. קנטור לא הצליח להוכיח השערה זו. אות לחשיבות שהייתה לבעיה זו בקרב המתמטיקאים ניתן לראות בכך שהבעיה הייתה הראשונה מבין 23 הבעיות הפתוחות שהילברט הציג בשנת 1900 בתור הבעיות המתמטיות החשובות של המאה ה-20.

בשנת 1935 פיתח קורט גדל את מושג הקבוצות הניתנות לבנייה, ושנתיים אחר-כך, ב-1937, הוא מצא דרך להיעזר במושג הזה כדי לפתור באופן חלקי את השערת הרצף: גדל הראה שאם מניחים שתורת הקבוצות (בניסוח המקובל שלה, צרמלו-פרנקל ובתוספת אקסיומת הבחירה) עקבית, אז התורה הכוללת בנוסף את השערת הרצף כאקסיומה, גם היא עקבית. מצד שני, בשנת 1963 הוכיח פול כהן שגם הוספת אקסיומה השוללת את השערת הרצף מביאה למערכת עקבית, ולכן השערת הרצף עצמאית במסגרת תורת הקבוצות- אין אפשרות להוכיח אותה או את שלילתה על פי האקסיומות של תורה זו. כדי להוכיח משפט זה פיתח פול כהן את שיטת הכפייה (Forcing).

גרסאות שקולות

ב-1943 הוכיחו פאול ארדש ושיזו קקוטני ‏ שהשערת הרצף נכונה אם ורק אם אפשר לפרק את הממשיים למספר בן-מניה של קבוצות, שכל אחת מהן כוללת קבוצה בלתי תלויה מעל הרציונליים. תכונה זו אפשר לנסח גם כך: השערת הרצף שקולה לכך שקיימת צביעה של הממשיים במספר בן-מניה של צבעים, כך שלמשוואה $\ x+y=z+u$ לא קיים פתרון מונוכרומטי במספרים שונים זה מזה.

השערת הרצף המוכללת

ניתן להכליל את השערת הרצף. הגרסה המוכללת אומרת שבין עוצמה אינסופית $\ |S|$ לעוצמת קבוצת החזקה $\ 2^{|S|}$ (הגדולה ממנה לפי משפט קנטור), אין אף עוצמות אחרות.

השערת הרצף חזקה די הצורך לגרור גם את אקסיומת הבחירה.

ראו גם

• אקסיומת הבנייה

הערות שוליים

נושאים בתורת הקבוצות
תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • קבוצת החזקה • מכפלה קרטזית • יחס • יחס שקילות • פונקציה • עוצמה • קבוצה בת מנייה • האלכסון של קנטור • משפט קנטור שרדר ברנשטיין • השערת הרצף • הפרדוקס של ראסל • סדר חלקי • מספר סודר • הלמה של צורן • אקסיומת הבחירה