שיחה:תורת הקבוצות האקסיומטית

אשמח לקבל אינפורמציה נוספת בנושא זה של הפרדוקס של ראסל

לך לערך הפרדוקס של ראסל. דוד שי 12:25, 10 דצמ' 2003 (UTC)

Remove stub?

As Gadial requested, I started working on this page from scratch. If there are no obligations, I would like to remove the stub.

BenG 01:13, 26 דצמ' 2004 (UTC)

תודה על היוזמה. אנא הורד את הקצרמר כשהערך יהיה מוכן, אם לדעתך הוא יהיה מפורט דיו. אם אתה רוצה עזרה, אתה מוזמן לבקש (למרות שאני לא בטוח שאני מסוגל לעזור כאן) גדי אלכסנדרוביץ' 06:38, 26 דצמ' 2004 (UTC)

הסבר על השינוי

לא ברור לי מה המקור לאקסיומות האלה, אבל היה קישור בסוף העמוד ובו רשום בפרק א בסעיף 14 ג' ש:"אקסיומת האינסוף: מחלקת המספרים הטבעיים היא קבוצה" (בניגוד למה שכתוב בערך בסעיף 5) ולכן שיניתי http://www.ma.huji.ac.il/~azriel/SetTheory/Text/sets1.pdf

אגב, נדמה לי שהמשפט על aU{a} מתייחס ל"סודרים" של עוצמות.

כלל לא ברור ששני הניסוחים שונים זה מזה במשמעות שלהם, ולכן לא ברור אם יש מה לדבר על "ניגוד" (אני פשוט לא מכיר את הנושא ולכן לא חורץ דין), אבל הניסוח הקודם היה זה שהופיע גם בויקיפדיה האנגלית וגם ב-mathworld (והוא גם "בסיסי" יותר, לטעמי). אני לא חושב שאתה צריך לשנות אם אתה לא בקיא בנושא בעצמך. גדי אלכסנדרוביץ' 19:55, 2 ינואר 2006 (UTC)

מספר תיקונים

שלום,

"אקסיומת הקב' הריקה" - אין כזו אקסיומה ב- ZF.

יש אקסיומה ש"קיים X", כלומר העולם לא ריק. כמו כן קיימת אקסיומה, שאני מעוניין להוסיף, שחיתוך של קבוצה עם מחלקה (כלומר דרישה כלשהי) היא קבוצה. במקרה שלנו, ניקח את ה- X הנ"ל, וניקח ממנה את קבוצת האברים השונים מעצמם (זו המחלקה איתה חתכנו את הקבוצה), מובן שהיא ריקה.

חסרה אקסיומה שאיחוד קבוצות נותן קבוצה, כנל לחיתוך. חיתוך מחלקה עם קבוצה, איחוד הקבוצות שבקבוצה מסוימת.

Knots - שיחה 01:27, 21 באוגוסט 2010 (IDT)

לא חסרה אכסיומה. האפשרויות של איחוד ושל חיתוך - נובעות מאכסיומת ההחלפה. "אקסיומת הקבוצה הריקה" נקראת כך רק כי צרמלו שבנה לראשונה את תורת הקבוצות האכסיומטית הציג את קיום הקבוצה הריקה כאכסיומה. ממשיכים לכנות את הקיום הזה "אכסיומת הקבוצה הריקה" - כי כבר יש מסורת לכנות אותה כך, אבל בסוף הערך מבואר שקיום הקבוצה הריקה כבר נובע משאר האקסיומות. 84.228.34.110 21:28, 11 בספטמבר 2012 (IDT)

הצעת שיפור

"במקור, צרמלו הוסיף שלוש אקסיומות נוספות, אשר בדיעבד התברר כי הן נובעות מתוך חמש האקסיומות הראשונות הקודמות"

בהתחשב בפשטות (היחסית) של העניין מאוד כדאי להראות איך הן נובעות. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 18:23, 7 בפברואר 2012 (IST)

כמעט

"כמעט כל התורות המתמטיות יכולות להיבנות כמשפטים מתוך תורת הקבוצות האקסיומטית".

1. למה כמעט: יש אלטרנטיבות לתורת הקבוצות האקסיומטית (למשל תורות "מונאדיות", שבהן יש קבועים, שאין בהם צורך בתורת הקבוצות). ויש לוגיקות אלטרנטיביות (טמפורלית, מרובת ערכים, אינטואיציוניסטית).
2. למה לא בערך עצמו: כי צריך מומחה בתחום שיכתוב על הנושאים האלה. עוזי ו. - שיחה 22:21, 16 בינואר 2016 (IST)

אקסיומת הקבוצה הריקה

בערך נכתב כי קיום הקבוצה הריקה, וכן אקסיומת ההפרדה, נובעות משבע האקסיומות המופיעות בערך. חיפשתי באינטרנט, ומצאתי הוכחת קיום של הקבוצה הריקה, אם מניחים את אקסיומת ההפרדה, וכן להיפך. אבל לא מצאתי איך ניתן להוכיח אף אחת מהן בלי להניח את השניה, בניגוד לכך שבערך נטען כי ניתן להוכיח את שתיהן מחמש האקסיומות הראשונות. אשמח להכיר את ההוכחה. בתודה, בנציון יעבץ - שיחה 20:53, 15 במרץ 2022 (IST)

בנציון יעבץ, גם בלי להשתמש באכסיומת ההפרדה/ההחלפה, ניתן "להגיע" (אם כי תוך מספר צעדים שאינו בהכרח סופי) לקבוצה הריקה, על ידי שימוש באכסיומת האיחוד ובאכסיומת היסוד: מצירוף שתיהן נובע כי האיבר הריק "מקנן בעומקה" של כל קבוצה לא ריקה - כגון של הקבוצה האינסופית שקיומה נובע מאכסיומת האינסוף. זאת תשובה אינטואיטיבית, בעוד שכדי לקבל מענה מדויק יותר יש לעיין - בספרו של אברהם פרנקל (עם יהושע בר הילל ועזריאל לוי): Abstract Set Theory - או במהדורה המעודכנת יותר ששמה: Foundations of Set Theory. סמי20 - שיחה 13:06, 31 במרץ 2022 (IDT)

(מספר צעדים סופי, אבל לא חסום). עוזי ו. - שיחה 13:18, 31 במרץ 2022 (IDT)

בטח התכוונת, לא [בהכרח] חסום. סמי20 - שיחה 20:42, 2 באפריל 2022 (IDT)

התכוונתי ללא חסום. (מה ההבדל בין "לא בהכרח חסום" ל"לא חסום"). כפי שלימדונו רבותינו בוויקיפדיה, "חסום זה חסום". עוזי ו. - שיחה 23:18, 2 באפריל 2022 (IDT)

לגבי שאלתך:

"לא חסום" - זה פשוטו כמשמעו - בלתי חסום, אבל "לא בהכרח חסום" זה אומר שהוא אמנם יכול להיות בלתי חסום אבל הוא גם יכול להיות כן חסום. למשל, בכל קבוצה בלתי ריקה בעלת סגור טרנזיטיבי סופי, מקננת קבוצה ריקה - שכדי להגיע אליה - מתבקש מספר צעדים חסום. גם אם הקבוצה הנתונה אינה סופית, אבל אחד מאיבריה - הבה נקרא לו s - הוא הקבוצה הריקה, מתבקש מספר צעדים חסום כדי להגיע אל s. רק אם מלכתחילה לא ניתן לזהות את איברי הקבוצה האינסופית הנתונה (ונמנעים מלהשתמש באכסיומת ההפרדה/ההחלפה ובאכסיומת הקבוצה הריקה), או אז מספר הצעדים שיידרש - כדי להגיע לקבוצה הריקה המקננת בקבוצה האינסופית הנתונה - לא יהיה חסום.

לכן ציפיתי שתכתוב "לא בהכרח חסום". סמי20 - שיחה 16:14, 17 באפריל 2022 (IDT)

מכיוון שמספר הצעדים סופי עבור כל קבוצה, אין שום רבותא בטענה שהוא גם חסום עבור כל קבוצה. אבל הוא אינו חסום א-פריורי. עוזי ו. - שיחה 16:55, 17 באפריל 2022 (IDT)

אם כן המחלוקת בינינו אינה מהותית אלא סמנטית, ותלויה בשאלה: האם נתונה לנו מראש הקבוצה שבה מקננת הקבוצה הריקה שאליה יש להגיע תוך מספר צעדים סופי. אני הבנתי שלטענתך אין חסם עליון למספר הצעדים הדרוש כדי להגיע לקבוצה הריקה המקננת בתוך קבוצה נתונה, וזה כמובן לא נכון - אם למשל הסגור הטרנזיטיבי של הקבוצה הנתונה הנו סופי. אבל אתה מפרש את "בלתי חסום", במובן של "בלתי חסום אפריורי" (כפי שאתה מציין כעת), כלומר באופן שלא נתונה לנו מראש הקבוצה שבה מקננת הקבוצה הריקה שאליה יש להגיע תוך מספר צעדים סופי. לסיכום: מחלוקתנו אינה מהותית אלא סמנטית. סמי20 - שיחה 02:43, 18 באפריל 2022 (IDT)

העומק של קבוצה הוא תמיד סופי, אבל אינו חסום. אפשר להשתמש באופן מועיל בביטוי "אינו בהכרח חסום", כאשר מדברים על מחלקות של קבוצות.

העומק של קבוצה ספציפית הוא סופי (ולא "חסום"). העומק של קבוצה כלשהי אינו חסום (ולא "אינו בהכרח חסום"). העומק של קבוצה במחלקה מסויימת אינו בהכרח חסום (תלוי במחלקה). עוזי ו. - שיחה 10:40, 18 באפריל 2022 (IDT)

הוא אשר חשבתי: אין בינינו מחלוקת. סמי20 - שיחה 20:26, 18 באפריל 2022 (IDT)