הפרדוקס של ראסל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הפרדוקס של ראסל הוא פרדוקס שהציע הפילוסוף והלוגיקן ברטראנד ראסל בשנת 1901, במכתב ששלח למייסדה של הלוגיקה המתמטית, גוטלוב פרגה. לפרדוקס הייתה השפעה מכרעת על התפתחותה של תורת הקבוצות ועל התפתחות המתמטיקה בכלל. פרגה, שקיבל את מכתבו של ראסל זמן קצר לפני השלמת הכרך השני של ספרו "יסודות האריתמטיקה", הבין שגישתו המקורית, המכונה היום תורת הקבוצות הנאיבית, מביאה לסתירה, וויתר על השלמת הספר.

מוסכמה בסיסית בתורת הקבוצות קובעת שקבוצה מוגדרת על-פי האיברים השייכים לה. ראסל התייחס להנחה יסודית אחרת, שלפיה אפשר (לכאורה) להגדיר קבוצה באמצעות כלל שיקבע מהם האיברים השייכים לה.

הפרדוקס[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להציג את הפרדוקס של ראסל, נאמר שקבוצה גדולה היא קבוצה הכוללת את עצמה כאיבר, וכל קבוצה אחרת (כלומר, שאיננה איבר של עצמה), היא קבוצה קטנה.

ראסל הגדיר את קבוצת כל הקבוצות הקטנות, X, ושאל:

  • האם X היא קבוצה קטנה או גדולה?

אם X קבוצה קטנה, הרי שלפי הגדרתה כקבוצת כל הקבוצות הקטנות היא כוללת את עצמה כאיבר, אבל אז היא קבוצה גדולה לפי ההגדרה. מאידך, אם X קבוצה גדולה עליה לכלול את עצמה כאיבר, אבל זו סתירה לכך שכל האברים ב-X הם קבוצות קטנות. בכל מקרה מתקבלת סתירה. במלים אחרות, ההנחות שלפיהן הקבוצה X קיימת וחייבת להיות קטנה או גדולה, מוליכות לסתירה.

ניסוח פופולרי ממיר את מושגי תורת הקבוצות בסיפור על הספרן הקפדן: ספרן העובר בין מדפי ספרייתו, מגלה יום אחד קובץ קטלוגים. יש שם קטלוגים נפרדים לשירה, נובלות וביוגרפיות וכו'. הספרן שם לב שחלק מן הקטלוגים כוללים את עצמם וחלק לא. הספרן מחליט להכין שני קטלוגים נוספים: רשימה של כל הקטלוגים שכוללים את עצמם, ורשימה של כל הקטלוגים שאינם כוללים את עצמם. כעת עליו לקבוע האם הקטלוג של רשימת הקטלוגים שאינם כוללים את עצמם צריך לכלול את עצמו. אם הוא מצוין בקטלוג הרי שלפי ההגדרה הוא צריך שלא להיות מצוין. אם הוא אינו מצוין הרי שלפי ההגדרה הוא כן צריך להיות מצוין. הספרן מוצא את עצמו במצב שאין לו פתרון.

גישות לפתרון הפרדוקס[עריכת קוד מקור | עריכה]

הלוגיקאים שבאו בעקבות תובנתו של ראסל, וראסל עצמו בראשם, הבינו שמקור הפרדוקס הוא באפשרות לאסוף איברים בכל דרך לכדי בניה של קבוצה. כדי למסד את תורת הקבוצות באופן שלא יכיל סתירות, יש צורך להגדיר באופן מסודר אלו אוספים יכולים להיחשב לקבוצות. בתחילת הדרך היו כמה גישות לסוגיה זו, כמו למשל תורת הטיפוסים.

בהמשך התברר שהגישה היעילה ביותר היא תורת הקבוצות האקסיומטית שפיתחו צרמלו ופרנקל. במסגרת זו, אחת האקסיומות החשובות היא אקסיומת ההפרדה, המאפשרת לבנות קבוצה חדשה על ידי ליקוט איברים של קבוצה קיימת. מנקודת מבט זו, הפרדוקס של ראסל מוכיח ש'קבוצת כל הקבוצות' אינה קיימת, משום שאחרת אפשר היה לבנות ממנה את קבוצת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן, שאינה קיימת לפי הפרדוקס. פרדוקס זה ודומים לו שינו כליל את פני תורת הקבוצות מתורה שבה כל הקבוצות נבנות מתוך קבוצה אוניברסלית, 'קבוצת כל הקבוצות' ותת-קבוצות שלה לתורה שבה כל הקבוצות נבנות מתוך קבוצה ריקה וקבוצות המכילות אותה.

רעיון דומה לפרדוקס של ראסל מאפשר להוכיח שקבוצת החזקה של קבוצה A היא לעולם גדולה מן הקבוצה A עצמה, וזהו תוכנו של משפט שהוכיח קנטור.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיביתתורת הקבוצות האקסיומטיתקבוצהיחידוןהקבוצה הריקהאיחודחיתוךמשליםהפרש סימטריקבוצת החזקהמכפלה קרטזיתיחסיחס שקילותפונקציהעוצמהקבוצה בת מנייההאלכסון של קנטורמשפט קנטור-שרדר-ברנשטייןהשערת הרצףהפרדוקס של ראסלסדר חלקימספר סודרהלמה של צורןאקסיומת הבחירה