שיחת משתמש:יאיר ח./מונחים בסיסיים בתורת הקבוצות

אופיר: טוב אז ככה זוג סדור שתי השורות הראשונות מובנות וטובות אף לראש שכשלי, החל מהשורה השלישית אני מתקשה מה משמעות הביטוי שבשורה השלישית ומדוע הוא מתקיים כך? (אני לא יודע איך מעתיקים אותו..)

מכפלה קטרזית (על שם ישראל קטורזה :) ) הבנתי את הכתוב לא הבנתי את החשיבות? מה ההבדל בין מכפלה כזו לאחת רגילה? מה יוצר בה את הקבוצה החדשה? יש לך דוגמא?

יחס - לא הבנתי .

מה החשיבות של זוג סדור בהשוואה לכל קבוצה אחרת? בהנחה שזה ברור ש A=A וB=B אז זה לא ברור מאליו ש (a,b) = (a,b)?

קודם כל שכוייח! בעוונותי עוד לא בדקתי את הדף הזה עד עכשיו, אבל בכל זאת הנה הגעתי הנה. בזוג סדור: הרעיון בביטוי הלז הוא להראות שמושג הקבוצה מספיק לנו כדי להגדיר גם מושג כמו זוג סדור, (שכשמו כן הוא- מכיל סדר בתוכו) למרות שבקבוצה עצמה אין חשיבות לסדר. {1,2}={2,1}.
למעשה מושג השיוויון בין קבוצות הוא מעט עדין אבל הוא מספיק חשוב כדי להביא אותו בהתחלה: שתי קבוצות A,B הן שוות אם ורק אם יש להם את אותם איברים כלומר כל איבר של A נמצא גם בB וגם כל איבר של B נמצא גם בA. כלומר בעצם מה שחשוב זה רק קיום האיברים המסויימים בתוך הקבוצה ולא הסדר שלהם. הקבוצה {3,3,3...} היא רק יחידון (כלומר מכילה איבר יחיד בלבד). מושג הזוג הסדור מוציא אותנו מהמציאות של אי חשיבות לסדר בכלל ומעביר אותנו למצב שבו ניתן לדבר על זוג שבו יש ראשון ושני. כאן כבר $\ (1,2)\neq (2,1)$ למרות שאלו אותם איברים- כי הסדר שלהם שונה (המרצה שלימד אותי, בין השאר, על הנושא הזה נהג לסמן זוג סדור עם סוגרים משולשות: <1,1> כנראה כדי שלא נתבלבל ביניהם לבין הסוגרים של הקבוצות).
ברגע שיש לנו זוג סדור נוכל להתעניין בקבוצת כל הזוגות הסדורים שבהם האיבר הראשון הוא מקבוצה A והשני הוא מ-B שזו קבוצת המכפלה הקרטזית. (באמת אני לא יודע מאיפה בא השם הזה). הסיבה היחידה שלא הבאתי דוגמאות למכפלה הזו היא שמספר האיברים בה הוא די גדול אבל מילא:

$\left\{1,2\right\}\times \left\{3,4\right\}=\left\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\right\}$

כמו שאתה רואה מכפלת של קבוצות שבכל אחת מהן יש שני איברים נותנת קבוצה בעלת ארבעה איברים (2*2=4). ואתה יכול לנחש בצדק שזה קורה תמיד (כלומר מכפלת קבוצה בעלת n איברים בקבוצה בעלת m איברים תתן קבוצה בעלת mn איברים, לכל n ו-m).
בעצם מושג היחס והמכפלה הקרטזית הם באמת די סתומים ולא מובן מה הפואנטה בהם לפני שמגדירים באמצעותם מבנים נוספים ומעניינים יותר כמו יחס סדר, יחס שקילות, פונקציה ועוד. אני אעביר את המושגים האלה בקרוב לדף פה אבל לפני כן אני רוצה לוודא שאתה מבין במעורפל מה הם המושגים מכפלה קרטזית (פחות חשוב) ויחס. יאיר ח. 21:49, 13 יוני 2006 (IDT)

אופיר: הכל מובן חוץ מ $\ (1,2)\neq (2,1)$ איך זה שונה מ 2*1 לעומת 1*2?

דבר ראשון אין צורך בזה שתכתוב את השם שלך כל פעם. אני כבר יכול לזהות אותך רק על פי הIP שלך... (תסתכל בויקיפדיה:עזרה טכנית לכל מיני טריקים נחמדים שאפשר לעשות כמו מה שאני עושה כרגע).

ולעניין- השוני הוא בדיוק הרעיון הבסיסי שבזוג סדור. החשיבות בסדר היא לא ייחודית לזוג הסדור, לדוגמא גם 12 (שתים-עשרה) שונה מ21, כיוון שאנו מפרשים את רצף הספרות על ידי נתינת משקל שונה לכל סיפרה. הזוגות הסדורים גם לא חייבים להיות מספריים לדוגמא גם (אבא,אמא) זה זוג סדור ש(בדרך כלל) שונה מהזוג (אמא,אבא). אלו אותם חבר'ה אבל הסדר השונה שלהם הוא האלמנט הקריטי שיוצר את השוני. העובדה של- 2*1 ו1*2 יש את אותה תוצאה זה לא דבר אלמנטרי בכלל. להיפך- היינו מצפים שכיוון שבפעם הראשונה לקחנו זוג אחד ובפעם השניה לקחנו זוג שונה לגמרי נקבל תוצאה אחרת. העובדה שאנו כן מקבלים את אותה תוצאה בלי קשר לסדר היא תכונה מיוחדת של פעולת הכפל (קומוטטביות) שאינה אופיינית בדרך כלל. לדוגמא ל 1-2 (זה אמור להיות חיסור) ו 2-1 יש תוצאות שונות (1- ו1 בהתאמה) וכן גם בפעולת החילוק- בפעם הראשונה נקבל חצי ובשני 2.

הזוג הסדור יכול להיות גם בכלל לא שם מספרים לדוגמא הזוג הסדור: (a},a}) הוא זוג סדור לכל עניין ודבר למרות שהאיבר הראשון בו הוא (אולי) לא קבוצה והשני כן.

הכנסת אלמנט הסדר לתוך המבנה של הקבוצות מאפשרת ליצור קצת סדר. אין זה מקרה שאת מושג היחס בונים מתוך הזוג הסדור. אנחנו רוצים דרך לומר 3 גדול מ1 בלי לומר תוך כדי 1 גדול מ3. בדרך של קבוצות נטו יש עם זה בעיה כי הקבוצות {1,3} ו{3,1} הן היינו הך אך הזוגות הסדורים (1,3) ו- (3,1) הם שונים ולכן בכך נוכל להכניס ליצור יחס R שנקרא לו "גדול יותר מ..." ונגדיר x גדול יותר מ-y אם (ורק אם) $\ (x,y)\in R$ כלומר נגדיר את מושג ה"גדול יותר" או "קטן יותר" בעזרת מושג השייכות לקבוצה. מכאן גם מובן (אני מקווה) למה דווקא זוג- אנו רוצים לבנות אלמנט שעל ידיו נאמר לומר מהו היחס (במשמעות המילולית) בין שני איברים- זוג, ונרצה לאפשר מצב שבו X עומד ביחס עם Y אבל לא להיפך (כמו ב"גדול יותר מ...") ולכן יש חשיבות לסדר.

אגב, מה דעתך על איחוד ובמיוחד על הדוגמא הראשונה? נכון שהם סתם הסתבכו עם הr וה s? יאיר ח.

מכפלה קרטזית על שם דקרט שהציע (בהיפוך של התפישה שחלה עד אליו) למסד את הגאומטריה על האלגברה, בכך שהנקודות במישור יותאמו לזוגות של מספרים, ובכך המציא את ההנדסה האנליטית. עוזי ו. 20:05, 14 יוני 2006 (IDT)

אופיר: למרות שאתה מלעיז אני ממשיך לרשום את שמי ולו בשביל הסדר הטוב. ולענייננו, אפשר לסכם את הערך הזה במילה אחת, הבנתי! ברגע שנתת את הדוגמא ללא המספרים, היינו (אבא, אמא) (אמא, אבא) דברים החלו להסתדר. בקיצור תודה.

תודה גם לך עוזי.

אני מוסיף יחס סדר ויחס שקילות, אבל לפני כן כדי שיהיה אפשר לתת דוגמאות סבירות- קח מערכות מספרים, לפחות את ההתחלה של הערך. אמנם זה מספרים אבל זה לא סתם ערך מומלץ, רובו מילולי ורק מיעוטי סימבולי-מתמטי. יאיר ח.

שמעתי את דברי העם- והטיבו כל אשר דיברו. מי יתן והיה לבבם זה להם תמיד. אני מוריד את החלק של יחס שקילות (ושומר אותו במקום אחר) כדי להפוך את המהלך ליותר מובנה ופשוט. יאיר ח. 17:53, 19 יוני 2006 (IDT)