יחס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, יחס (או רלציה) הוא שיטה נוחה לדבר על פעולות, סדרים ודברים נוספים שאפשר להגדיר לגבי קבוצה. יחס בינארי (לפעמים נקרא סתם "יחס") בין קבוצות כלשהן A ו- B הוא קבוצה של זוגות סדורים של איברים, כך שהאיבר הראשון בכל זוג שייך ל-A, והשני ל-B. קיימים גם יחסים n-אריים, שהם קבוצות של n-יות מקבוצות נתונות \ A_1,\dots,A_n.

אם \ (a,b) \in \mathcal{R} נאמר ש a עומד ביחס עם b ונסמן \ a\mathcal{R}b.

שוויון, אי-שוויון, הפונקציה x+1, ופעולת הכפל, כולם דוגמאות ליחסים.

תכונות של יחסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

יחס \ \mathcal{R}\subseteq A\times A ייקרא:

  • רפלקסיבי אם לכל איבר בקבוצה \ a\isin A, מתקיים \ a\mathcal{R}a. לדוגמה היחס 'שווה' הוא רפלקסיבי בקבוצת המספרים הרציונליים, כיוון שכל מספר שווה לעצמו.
    • אי-רפלקסיבי אם לכל איבר בקבוצה \ a\isin A, לא מתקיים \ a\mathcal{R}a. לדוגמה היחס 'גדול מ-' הוא אי-רפלקסיבי בקבוצת המספרים הרציונליים, כיוון שאף מספר אינו גדול מעצמו.
    • קו-רפלקסיבי אם לכל זוג איברים בקבוצה \ a,b\isin A, המקיים \ a\mathcal{R}b מתקיים a שווה ל- b. לדוגמה היחס 'שווה ל-' הוא קו-רפלקסיבי בקבוצת המספרים הרציונליים (בעוד שהיחס 'בעל חֶזקה ריבועית שזהה לזו של' הוא קו-רפלקסיבי רק בקבוצת המספרים החיוביים - אך לא בקבוצת המספרים הרציונליים).
  • סימטרי אם כל זוג איברים בקבוצה \ a,b\isin A, מקיים \ a\mathcal{R}b \iff b\mathcal{R}a. לדוגמה היחס 'שווה ל-' הוא סימטרי בקבוצת המספרים הרציונליים (אם a=b אז b=a).
    • א-סימטרי (או אנטי-סימטרי חזק) אם כל זוג איברים בקבוצה \ a,b\isin A, המקיים \ a\mathcal{R}b אינו מקיים \ b\mathcal{R}a. לדוגמה היחס 'גדול מ-' הוא א-סימטרי בקבוצת המספרים הרציונליים (אם b < a אז לא מתקיים a < b). יחס כזה הוא אנטי-סימטרי חזק (וגם אי-רפלקסיבי).
    • אנטי-סימטרי (או אנטי-סימטרי חלש) אם כל זוג איברים בקבוצה \ a,b\isin A, המקיים \ a\mathcal{R}b וגם \ b\mathcal{R}a מקיים a שווה ל- b. לדוגמה היחס 'גדול או שווה ל-' הוא אנטי סימטרי בקבוצת המספרים הרציונליים (אם a \le b וגם b \le a אז a = b).
  • טרנזיטיבי אם לכל שלושה איברים בקבוצה \ a,b,c\isin A, המקיימים \ a\mathcal{R}b וגם \ b\mathcal{R}c מתקיים \ a\mathcal{R}c. לדוגמה היחס 'קטן מ-' הוא טרנזיטיבי בקבוצת המספרים הרציונליים (אם a < b וגם b < c אז מכאן ש- a < c).
    • אי-טרנזיטיבי אם לכל שלושה איברים בקבוצה \ a,b,c\isin A, המקיימים \ a\mathcal{R}b וגם \ b\mathcal{R}c לא מתקיים \ a\mathcal{R}c. לדוגמה היחס 'עוקב של' הוא אי-טרנזיטיבי בקבוצת המספרים הרציונליים (אם a+1 = b וגם b+1 = c אז לא מתקיים a+1 = c).

דוגמה נוספת: היחס "צאצא ביולוגי", הוא דוגמה ליחס אי-רפלקסיבי (אדם אינו צאצא של עצמו), א-סימטרי (אם אדם א' הוא צאצאו של אדם ב' אז ב' אינו צאצאו של א') וטרנזיטיבי (אם אדם א' הוא צאצאו של אדם ב' וב' בתורו הוא צאצא של ג', אז א' גם הוא צאצא של ג').

דוגמאות לאינטראקציות שבין תכונות של יחסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • יחס טרנזיטיבי אי-רפלקסיבי הוא א-סימטרי
  • יחס אי-טרנזיטיבי רפלקסיבי הוא א-סימטרי
  • יחס א-סימטרי הוא אנטי סימטרי אי-רפלקסיבי

דוגמאות חשובות של יחסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מושג היחס מהווה אבן יסוד להגדרת מושגים בסיסיים רבים במתמטיקה:

  • פונקציה, \ f, היא סוג של יחס, המאופיין על ידי התכונה \ (x,y) \in f \mbox{  and  } (x,z) \in f \Rightarrow y=z.
  • פעולה בינארית היא סוג של יחס (זוהי למעשה פונקציה מאוסף הזוגות הסדורים של קבוצה מסוימת אליה עצמה).
  • סדר חלקי (מכונה גם "סדר חלקי חלש" או "סדר חלש", ומסומן בדרך כלל ב- \ \le) הוא יחס רפלקסיבי, אנטי-סימטרי וטרנזיטיבי.
    • סדר מלא הוא סדר חלקי אשר מקיים את תכונת ההשוואה, כלומר, לכל \ a ו-\ b בקבוצה הסדורה חלקית \ \left(A, \le \right) מתקיים או \ a \le b או \ b \le a .
  • יחס שקילות הוא יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. יחס שקילות משרה חלוקה על הקבוצה עליה הוא מוגדר, למחלקות שקילות על ידי ההגדרה ששני איברים יהיו באותה מחלקת שקילות, אם ורק אם הם עומדים ביחס.

פעולות על יחסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרכבת יחסים - לכל שני יחסים \ R \subset A\times B , T \subset B\times C ניתן להגדיר יחס שלישי, S \subset A\times C כהרכבה של שניהם:

 \ S = T\circ R = \left\{ (x,z) : \exist y ,\  xRy \mbox{  and  } yTz \right\}

לפי הגדרה זו - הרכבת פונקציות היא למעשה מקרה פרטי של הרכבת יחסים. הרכבת יחסים רפלקסיביים או טרנזיטיביים היא רפלקסיבית או טרנזיטיבית בהתאמה.

היחס ההפוך - עבור היחס R \subset A\times B נגדיר את היחס ההפוך R^{-1} \subset B\times A על ידי היפוך הזוגות הסדורים:

\ R^{-1} =\left\{ (y,x) : xRy \right\}

הרכבת יחס עם היחס ההפוך, כמו גם איחודם, מניבה יחס סימטרי.

כל יחס R על קבוצה A ניתן להשלים באופן מינימלי ליחס רפלקסיבי, סימטרי או טרנזיטיבי על ידי לקיחת החיתוך של אוסף כל היחסים בעלי אותה תכונה שמכילים אותו. כיוון שתכונות אלו נשמרות תחת החיתוך, הקבוצה המתקבלת, המכונה הסגור של R ביחס לתכונה המבוקשת (רפלקסיביות, סימטריות או טרנזיטיביות), היא היחס המינימלי שמכיל את R ומקיים את אותה תכונה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיביתתורת הקבוצות האקסיומטיתקבוצהיחידוןהקבוצה הריקהאיחודחיתוךמשליםהפרש סימטריקבוצת החזקהמכפלה קרטזיתיחסיחס שקילותפונקציהעוצמהקבוצה בת מנייההאלכסון של קנטורמשפט קנטור שרדר ברנשטייןהשערת הרצףהפרדוקס של ראסלסדר חלקימספר סודרהלמה של צורןאקסיומת הבחירה