סלילונית (חשמל)

איור של סלילונית

קווי שדה של שדה מגנטי שנוצר על ידי סלילונית בעלת שבע לולאות (במישור בו נמצא ציר הסלילונית)

סלילונית (קרויה לעיתים סילונית, או בשמה הלועזי סולנואיד) היא סוג של אלקטרומגנט הנוצר על ידי סליל של חוט שבו מימד האורך גדול משמעותית מהקוטר. השדה מגנטי הנוצר בתוך סלילונית כאשר מועבר דרכה זרם חשמלי הוא אחיד בגודלו ובכיוונו (בהזנחת תופעות קצה). השם סלילונית הוא תרגום שם המונח סולנואיד שנטבע בשנת 1823 על ידי אנדרה-מארי אמפר .

סלילונית יכולה גם להיות כפופה כך שציר הסליל אינו קו ישר. כל עוד אורך הסליל גדול משמעותית מקוטרו, השדה המגנטי יהיה מקביל לציר הסליל בכל נקודה. לדוגמה, האלקטרומגנט של ויליאם סטרג'ון משנת 1824 היה מורכב מסלילונית בצורת פרסה.

ניתוח פיזיקלי

סלילונית רציפה אינסופית

איור 1: סלילונית אינסופית עם שלושה מסלולים שרירותיים המסומנים a, b, ו- c. האינטגרל של השדה המגנטי על מסלול c (שאין בו זרם חשמלי) הוא אפס, כך שהשדה המגנטי בתוך הסלילונית חייב להיות אחיד על פני רדיוס הגליל.

לצורך קלות הניתוח מניחים שלסלילונית יש אורך אינסופי אך קוטר סופי. "רציפה" פירושו שהסלילונית אינה נוצרת על ידי חוטים נפרדים ברוחב סופי, אלא על ידי חוטים דקים עד אינסוף ללא רווח ביניהם; בהפשטה זו, ניתן לחשוב על הסלילונית כעל יריעה גלילית של חומר מוליך, שהזרם בו הוא רק בכיוון המשיקי (מסביב לגליל, מסומן ב-i), ואין זרם בכיוון האורכי המסומן ב-z.

השדה המגנטי בתוך סלילונית אינסופית הוא אחיד, וחוזקו אינו תלוי במרחק מהציר או בשטח החתך של הסלילונית.

תוצאה זו מתקבלת מניתוח צפיפות השטף המגנטי סביב הסילונית. באיור 1, ניתן לראות כי השטף מצביע בכיוון z החיובי בתוך הסלילונית, ובכיוון z השלילי מחוץ לה. זאת לפי כלל יד ימין עבור השדה סביב מוליך. אם נכרוך את יד ימין סביב החץ המסמן את כיוון הזרם (i) כשהאגודל מצביע לכיוון הזרם, קצות האצבעות יצביעו כלפי מעלה כאשר הן בתוך הסליל, וכלפי מטה כאשר הן מחוץ לסליל. משיקולי סימטריה, רכיבי השדה המגנטי שאינן בכיוון z מתאפסים.

נבדוק את המסלול c הנמצא כולו בתוך הסלילונית. לפי חוק אמפר, אנו יודעים שהאינטגרל הקווי הסגור של B (וקטור צפיפות השטף המגנטי) על מסלול זה הוא אפס, כיוון שהמסלול אינו מקיף אף מוליך ולכן הזרם העובר דרכו הוא אפס. הראינו לעיל שהשדה פונה כלפי מעלה בתוך הסולנואיד, כך שהאינטגרלים על הקטעים האופקיים של המסלול c הם אפס. לפיכך האינטגרל על הקטע השמאלי 1 חייב להיות שווה לאינטגרל על הקטע הימני 2. כיוון שתוצאה זו נכונה בלי קשר למיקום המסלול ולאורכו, ההסבר הפיזיקלי היחיד הוא שהאינטגרנדים (השדות המגנטיים על שני הקטעים) הם שווים, כלומר השדה המגנטי בתוך הסלילונית האינסופית הוא אחיד רדיאלית.

ניתן ליישם טיעון דומה על המסלול a כדי להסיק שהשדה מחוץ לסלילונית הוא אחיד או קבוע רדיאלית. מכך אפשר להסיק שצפיפות השטף מחוץ לסלילונית האינסופית היא אפסי. ניתן להסביר זאת אינטואיטיבית בכך שקווי שדה מגנטי הם תמיד לולאות סגורות (ראה חוק גאוס למגנטיות). בתוך הסלילונית לקווי השדה המגנטי יש צפיפות סופית, אך כל קו נסגר ללולאה (במרחק אינסופי). מאחר שבכל מישור ניצב לציר z, השטח שבתוך הסלילונית הוא סופי בעוד שהשטח מחוץ לה הוא אינסופי, וגודל השדה בחוץ קבוע, הרי שצפיפות קווי השדה מחוץ לסלילונית קטנה "פי אינסוף" מצפיפותם בתוכה, ולכן השדה בחוץ חייב להיות אפסי.

התמונה מראה כיצד ניתן להחיל את חוק אמפר על הסלילונית

החלת חוק אמפר על סלילונית סופית (ראו איור מימין) תיתן את המשוואה

$Bl=\mu _{0}NI,$

כאשר $B$ היא צפיפות השטף המגנטי, $l$ הוא אורך הסלילונית, $\mu _{0}$ היא פרמאביליות הריק, $N$ הוא מספר הכריכות, ו $I$ הוא הזרם הזורם בסלילונית. מכאן נקבל את הנוסחה לצפיפות השטף המגנטי בסלילונית:

$B=\mu _{0}{\frac {NI}{l}}.$

משוואה זו תקפה עבור סולנואיד בחלל ריק.

אם הסלילונית נמצאת בתווך עם פרמאביליות יחסית μ _r, אז השדה גדל באותו יחס:

$B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {r} }{\frac {NI}{l}}.$

הכללת ליבה מחומר פרומגנטי, כגון ברזל, בתוך פנים הסלילונית, מגבירה את גודל צפיפות השטף המגנטי בתוך הסלילונית, אך לא מחוץ לה. כתוצאה מכך, צפיפות השטף בתוך הסלילונית תלויה גם בחומר הליבה וגם בגאומטריה שלה, דבר הבא לידי ביטוי בנוסחה

$B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {eff} }{\frac {NI}{l}}=\mu {\frac {NI}{l}},$

כאשר μ _eff היא הפרמאביליות האפקטיבית של הליבה, שהיא פונקציה של התכונות הגיאומטריות של הליבה ושל הפרמאביליות היחסית שלה. הפרמאביליות היחסית (תכונה של החומר בלבד) והפרמאביליות האפקטיבית (תכונה של המבנה כולו) יכולים להיות שונים בסדרי גודל רבים.

עבור מבנה מגנטי פתוח, הקשר בין הפרמאביליות האפקטיבית והיחסית ניתן בנוסחה הבאה:

$\mu _{\mathrm {eff} }={\frac {\mu _{r}}{1+k(\mu _{r}-1)}},$

כאשר k הוא גורם הדה-מגנטיזציה של הליבה.

סלילונית רציפה סופית

קווי שדה מגנטי וצפיפות שנוצרו על ידי סלילונית עם צפיפות זרם קבועה

זוהי סלילוניתבעלת אורך סופי, אך רציפה במובן שהזרם אינו זורם בחוטים נפרדים אלא על חוטים דקים וצפופים עד אינסוף, היוצרים יריעת חומר מוליך. אנו מניחים שהזרם מפולג באופן אחיד על פני הסולנואיד, עם צפיפות זרם K; בקואורדינטות גליליות:

$${\vec {K}}={\frac {I}{l}}{\hat {\phi }}.$$

ניתן למצוא את השדה המגנטי באמצעות הפוטנציאל הווקטורי, אשר עבור סלילונית סופית עם רדיוס R ואורך l בקואורדינטות גליליות $(\rho ,\phi ,z)$ הוא

$$A_{\phi }={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}{\frac {1}{l}}{\sqrt {\frac {R}{\rho }}}\left[\zeta k\left({\frac {k^{2}+h^{2}-h^{2}k^{2}}{h^{2}k^{2}}}K(k^{2})-{\frac {1}{k^{2}}}E(k^{2})+{\frac {h^{2}-1}{h^{2}}}\Pi (h^{2},k^{2})\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},$$

כאשר:

• $\zeta _{\pm }=z\pm {\frac {l}{2}},$
• $h^{2}={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}}},$
• $k^{2}={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}},$
• $K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}},$
• $E(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,d\theta ,$
• $\Pi (n,m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}.$

כאן, $K(m)$, $E(m)$, ו $\Pi (n,m)$ הם אינטגרלים אליפטיים שלמים מהסוג הראשון, השני והשלישי.

באמצעות המשוואה:

$${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},$$

מתקבלת צפיפות השטף המגנטי כ-

$$B_{\rho }={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {2}{l}}{\sqrt {\frac {R}{\rho }}}\left[{\frac {k^{2}-2}{k}}K(k^{2})+{\frac {2}{k}}E(k^{2})\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},$$

$$B_{z}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {1}{l}}{\frac {1}{\sqrt {R\rho }}}\left[\zeta k\left(K(k^{2})+{\frac {R-\rho }{R+\rho }}\Pi (h^{2},k^{2})\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}}.$$

על ציר הסימטריה, הרכיב הרדיאלי נעלם, ומרכיב השדה הצירי הוא

$$B_{z}={\frac {\mu _{0}NI}{2}}\left({\frac {l/2-z}{l{\sqrt {R^{2}+(l/2-z)^{2}}}}}+{\frac {l/2+z}{l{\sqrt {R^{2}+(l/2+z)^{2}}}}}\right).$$

בתוך הסלילונית, רחוק מהקצוות ( $l/2-|z|\gg R$ ), השדה הוא בקירוב קבוע $B=\mu _{0}NI/l$ .

דוגמאות לסלילוניות לא סדירות: (א) סלילונית דלילה, (ב) סלילונית עם צפיפות משתנה, (ג) סלילונית לא גלילית

השראות

כפי שמוצג לעיל, צפיפות השטף המגנטי $B$ בתוך הסלילונית היא כמעט קבועה וניתנת על ידי

$B=\mu _{eff}{\frac {NI}{l}},$

כאשר μ_eff היא הפרמאביליות, $N$ מספר הסיבובים, $I$ הזרם ו $l$ אורך הסליל. בהתעלם מהשפעות קצה, השטף המגנטי הכולל דרך הסלילונית מתקבל על ידי הכפלת צפיפות השטף $B$ בשטח החתך $A$ :

$\Phi =\mu _{0}{\frac {NIA}{l}}.$

בשילוב עם הגדרת ההשראות,

$L={\frac {N\Phi }{I}},$

מתקבלת נוסחת השראות הסלילונית:

$L=\mu _{0}{\frac {N^{2}A}{l}}.$

עבור סלילונית עם ליבה מגנטית, ניתוח זה מתאים רק כאשר אורך הסליל גדול בהרבה ממכפלת הפרמאביליות היחסית של הליבה המגנטית והקוטר. תנאי זה מגביל את הניתוח הפשוט לליבות בעלות פרמאביליות נמוכה, או לסלילוניות דקות וארוכות במיוחד.

ראו גם

• סליל הלמהולץ
• סליל השראה
• סולנואיד (הנדסה)

קישורים חיצוניים

• מדריך Java אינטראקטיבי: שדה מגנטי של סולנואיד, המעבדה הלאומית לשדות מגנטיים גבוהים
• דיון בסולנואידים בהיפרפיזיקה