אי-שוויון

במתמטיקה, אי-שוויון הוא פסוק לוגי, המשווה שני ערכים מספריים (מפורשים או התלויים בנעלם), וקובע שאחד מהם גדול מרעהו. לדוגמה, 8>2 הוא אי-שוויון מפורש, בין מספרים, ואילו $\ x^2 > x+6$ מגביל את הערכים האפשריים למשתנה x, בדומה למשוואה כמו $\ x^2=x+6$.

אי-שוויון הוא יחס סדר מלא. סימני היחס המתארים אי-שוויון הם $\ <, >, \leq, \geq,\ne$, שמשמעותם:"a שונה מ-a" ($\ \ne$) "b גדול מ-b" ($\ a>b$ או $\ b<a$) או "a גדול מ-b או שווה לו" ($\ a\geq b$ או $\ b \leq a$). סימנים אלו עשויים לתאר לא רק את יחס הסדר המקובל בין מספרים, אלא גם יחסי סדר אחרים.

פעולות באי-שוויונות

יחס הסדר על הישר הממשי הוא לינארי, כלומר, מבין כל שני מספרים שונים, אחד מוכרח להיות גדול מן השני. תכונה זו מאפשרת לשאול, בהינתן שני מספרים (או "תבניות מספר" - ערכים התלויים במשתנה אחד או יותר) a,b, איזה יחס הוא הנכון: $\ a<b$, $\ a=b$ או $\ a>b$. בפרט, כל מספר ממשי אפשר להשוות לאפס - וכך מתקבלת החלוקה למספרים חיוביים, או בעלי "סימן חיובי" (אלו הגדולים מאפס) ושליליים, או בעלי "סימן שלילי" (אלו הקטנים מאפס).

משוואות כמו $\ 2x+4y=6, x-5y=0$ אפשר לחבר, לחסר ולהכפיל (כל אגף בנפרד), והתוצאה המתקבלת היא משוואה חדשה. באי-שוויונות, הפעולות המותרות הבסיסיות הן כדלקמן:

1. אם $\ a<b$ אז לכל c, $\ a+c<b+c$;
2. אם $\ a<b$ ו-$\ d$ חיובי, אז גם $\ ad<bd$; אם $\ d$ שלילי, אז $\ ad>bd$;
3. אם $\ a<b$ וידוע ש$\ b$ ,$\ a$ חיוביים, אז גם $\ a^2<b^2$.

החוק השני מקנה לאיבר האפס מעמד מיוחד. כפי שהכפל באיבר חיובי שומר על כיוון אי-השוויון, כפל באיבר שלילי תמיד הופך אותו. (בפתרון של אי-שוויונות קורה שמכפילים בגודל שהסימן שלו אינו ידוע, וכדי לשמור על אי-השוויון שהוכפל, יש לבדוק בנפרד את שתי האפשרויות).

מן החוקים שהוזכרו לעיל, יחד עם התכונות הבסיסיות של יחס הסדר (ובפרט, הטרנזיטיביות שלו) נובע גם ש-

1. אם $\ a<b$ ו- $\;c<d$ אז $\ a+c<b+d$;
2. אם $\ a<b$ ו- $\ 0<c<d$ אז $\ ac<bd$.

מערכת של אי-שוויונות לינאריים

האלגברה הלינארית עוסקת במערכות של משוואות לינאריות בכמה נעלמים. הצעד הבסיסי בחקירת אי-שוויונות הוא הבנת המבנה הגאומטרי של מערכת השוויונות המתאימה (המתקבלת מהחלפת כל סימן אי-שוויון בסימן השוויון). כפי שמשוואה לינארית מגבילה את הפתרון לעל-מישור (שממדו קטן ב-1 מממד המרחב המקורי), כל אי-שוויון מגביל את הפתרון לחצי המרחב ("מעל" לשוויון ומתחתיו). מערכת של אי-שוויונות מגדירה פאון (לאו-דווקא חסום), העשוי להיות ריק אם אין למערכת פתרון. בעיות אופטימיזציה על קבוצות כאלה כרוכות בתכנון לינארי.

כדי שלמערכת של משוואות לינאריות (כמו $\ x+y=1, x+z=1, z-y=6$) לא יהיה פתרון, מוכרחה להיות תלות לינארית בין המשוואות. בדומה לזה, כדי שלמערכת של אי-שוויונות $\ \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j>0$ ($\ i=1,\dots,m$) לא יהיה פתרון, מוכרח להיות צירוף לינארי עם מקדמים חיוביים של אי-השוויונות, השווה לאפס; כלומר, מוכרחים להיות קבועים $\ b_1,\dots,b_m\geq 0$, שאינם כולם אפס, כך ש- $\ \sum_{i=1}^{m} b_i(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j)=0$.

הכללה

יחס הסדר המוגדר על שדה המספרים הממשיים הופך אותו לשדה סדור; הסימונים, הפעולות והתכונות של יחס הסדר של הממשיים חלים באותו אופן בכל שדה סדור.