כיסוי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובעיקר בטופולוגיה, כיסוי של קבוצה A הוא אוסף של תת-קבוצות של A, כך שאיחוד כל קבוצות האוסף הוא A.
אם מדברים על A כתת-קבוצה של קבוצה יותר גדולה B, אז כיסוי של A הוא אוסף של תת-קבוצות של B, כך שאיחוד הקבוצות מכיל את A (כלומר שאם נחתוך את איברי האוסף עם A נקבל כיסוי במובן הקודם). לעתים דורשים שכל הקבוצות באוסף יהיו לא ריקות.
בטופולוגיה מושג הכיסוי קשור למושג הקומפקטיות. במקרה הזה מתעניינים בעיקר בכיסוי פתוח, כלומר כיסוי שבו כל הקבוצות הן קבוצות פתוחות.

  • תת-אוסף של כיסוי שהוא כיסוי בפני עצמו נקרא תת-כיסוי.
  • הכיסוי \left\{U_i \right\}_{ i \in I } נקרא עידון של הכיסוי \left\{V_j\right\}_{j \in J } אם לכל קבוצה Ui קיימת קבוצה Vj כך ש: \ U_i \sub V_j.
  • בטופולוגיה - כיסוי \left\{U_i \right\}_{ i \in I } נקרא סופי באופן מקומי אם לכל נקודה (איבר במרחב) קיימת סביבה כך שרק מספר סופי של קבוצות בכיסוי נחתכות איתה (והחיתוך לא ריק).

כל תת-כיסוי הוא עידון אבל רב העידונים אינם תת-כיסויים. עקרונית, עידון יכול להיות הרבה יותר גדול (מבחינת העוצמה שלו) מהכיסוי המקורי שלו, אבל בהרבה תחומים חשובים דווקא העידונים שיותר קטנים מהכיסוי המקורי במובנים מסוימים. לדוגמה, מרחב טופולוגי הוא פרקומפקטי אם הוא מקיים שלכל כיסוי קיים תת-כיסוי שהוא סופי באופן מקומי.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אוסף הקטעים מהצורה [n,n+1] ל-n טבעי הוא כיסוי של הישר הממשי. אוסף הקטעים מהצורה (-n,n) הוא כיסוי פתוח של הישר.
  • בכל מרחב טופולוגי, כל בסיס של המרחב הוא כיסוי פתוח, ובדרך כלל לא סופי באופן מקומי.
  • כיסוי של A הוא גם מחלקות שקילות של יחס שקילות מסוים אם ורק אם כל שתי קבוצות שונות בכיסוי זרות זו לזו.
  • חלוקה של קטע סגור לתת-קטעים סגורים (או חצי סגורים) היא כיסוי מיוחד של הקטע שמשמש להגדרת אינטגרל רימן. אפשר לחשוב על אינטגרל לבג כהרחבה של אפשרות החלוקה של הקטע לקבוצות מדידות כלשהן, ולא רק לקטעים חצי-סגורים.