מורפיזם אפס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, מורפיזם אפס הוא סוג מיוחד של מורפיזם "טריוויאלי". נניח כי C היא קטגוריה, ונניח כי לכל זוג אובייקטים X ו-Y בC נתון מורפיזם \,0_{XY}:X\rightarrow Y כך שמתקיימת התכונה הבאה: לכל זוג מורפיזמים \,f:R\rightarrow S ו-\,g:U\rightarrow V מתקבלת דיאגרמה קומוטטיבית:

ZeroMorphism-01.png

במקרה זה, משפחת המורפיזמים \,0_{XY} נקראת משפחה של מורפיזמי אפס בC. אם נציב בדיאגרמה הקומוטטיבית לעיל \,R=S,f=1_R או לחלופין \,U=V,g=1_U, נקבל כי ההרכבה של מורפיזם אפס עם מורפיזם כלשהו (מימין או משמאל) נותנת מורפיזם אפס. יתרה מכך, אם קיימת לקטגוריה משפחת מורפיזמי אפס, אז משפחה זו היא יחידה. אם לקטגוריה קיימים מורפיזמי אפס אז ניתן להגדיר בה גרעין ו-קו-גרעין. מורפיזם הוא מורפיזם אפס אם ורק אם הוא קבוע ו-קו-קבוע.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בקטגוריה של חבורות, מורפיזם אפס הוא הומומורפיזם \,f:G\rightarrow H אשר מעתיק כל איבר בG לאיבר היחידה של H.
  • באופן יותר כללי, אם C היא קטגוריה כלשהי המכילה אובייקט אפס 0, אז לכל זוג אובייקטים X וY קיים מורפיזם יחיד \,0_{XY}:X\rightarrow 0 \rightarrow Y (ההרכבה של המורפיזם היחיד מ-0 ל-Y עם המורפיזם היחיד מX ל0). במקרה זה - משפחה זו היא משפחת מורפיזמי אפס של C.
  • הקטגוריה של קבוצות Set לא מכילה מורפיזמי אפס. כך גם הקטגוריה Top (מרחבים טופולוגים ביחד עם פונקציות רציפות).