גרעין (תורת הקטגוריות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, גרעין הוא הכללה של מושג הגרעין של הומומורפיזם של חבורות, של מודולים ושל גרעינים של מורפיזמים אחרים המופיעים באלגברה. מבחינה אינטואיטיבית, הגרעין של המורפיזם \,f:X\rightarrow Y הוא המורפיזם "הכללי ביותר" \,k:K\rightarrow X כך ש \,f\circ k = 0.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי C היא קטגוריה. על מנת להגדיר גרעין במובן הקטגורי, על C להכיל מורפיזם אפס. במקרה זה, אם \,f:X\rightarrow Y הוא מורפיזם כלשהו בC, אז הגרעין של f הוא משווה של f ושל מורפיזם האפס מ-X ל-Y. במילים אחרות, מתקיים:

\,\ker(f) = eq(f,0_{xy})

בצורה יותר מפורטת, התכונה האוניברסלית הבאה מתקיימת: גרעין של f הוא מורפיזם \,k:K\rightarrow X המקיים:

  • \,f\circ k הוא מורפיזם אפס מ-K ל-Y (כלומר, הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית):
KerCat01.png
  • בהינתן מורפיזם כלשהו \,k':K'\rightarrow X כך ש \,f\circ k' הוא מורפיזם אפס, קיים מורפיזם יחיד \,u:K'\rightarrow K כך ש \,k\circ u = k' (כלומר, הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית):
KerCat02.png

במקרים רבים הנפוצים באלגברה, מתייחסים לאובייקט K כאל הגרעין של f, ומתעלמים מהמורפיזם k. במקרים אלו K היא תת קבוצה של X, ו-k היא העתקת ההכלה של K לתוך X. ניתן להראות כי k הוא תמיד מונומורפיזם (במובן הקטגורי של המילה).

לא לכל מורפיזם בהכרח קיים גרעין, אך אם קיים גרעין, הוא יחיד במובן הבא: אם \,k:K\rightarrow X ו-\,i:L\rightarrow X הם גרעינים של \,f:X\rightarrow Y אז קיים איזומורפיזם יחיד \,\phi:K\rightarrow L כך ש \,i\circ\phi = k.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בקטגוריה של חבורות, בהינתן הומומורפיזם \,f:X\rightarrow Y, אם K הוא הגרעין של f במובן הרגיל של המילה, אז K היא תת-קבוצה של X, ומורפיזם ההכלה \,k:K\rightarrow X הוא הגרעין של f במובן הקטגורי.
  • בקטגוריה של חוגים אין גרעין, משום שאין בקטגוריה זו מורפיזם אפס. (שהרי מניחים כי הומומורפיזמים מעתיקים את היחידה ליחידה).