תורת הקטגוריות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תורת הקטגוריות היא תורה מתמטית המנתחת בצורה מופשטת מבנים מתמטיים ואת היחסים ביניהם. תורת הקטגוריות פותחה בין השנים 1942-1945 על ידי סמואל איילנברג (Samuel Eilenberg) וסאונדרס מקליין (Saunders MacLane).

תורת הקטגוריות מדגישה את המורפיזמים (morphism -תהליכים משמרי מבנה) הקיימים בין עצמים מתמטיים של מחלקות (classes). למשל המחלקה Grp המורכבת מכל החבורות הקיימות - אלו הן קבוצות שמשויכות להן פעולות בינאריות בין עצמי הקבוצה. במקרה זה המורפיזמים הם ההומומורפיזמים של החבורות. ההומומורפיזם של חבורה משמר את מבנה החבורה באופן מאוד מסוים: זהו "תהליך" הממפה חבורה אחת לשנייה באופן המעביר לחבורה השנייה אינפורמציה על מבנה החבורה הראשונה, בכך שתוצאה של הפעולה של החבורה האחת על איברים שלה תמיד עוברת אל תוצאת הפעולה של החבורה השנייה על "תמונות" האיברים בחבורה השנייה. חקר ההומומורפיזמים משמש כלי לחקר תכונות כלליות של חבורות והשלכותיהן של אקסיומות החבורות.

חקר דומה קיים בתאוריות מתמטיות רבות. קטגוריה הינה ניסוח אקסיומטי של רעיון זה של הגדרת מבנה מתמטי באמצעות הפונקציות משמרות המבנה הקיימות בין עצמי הקטגוריה. בחינה שיטתית של קטגוריות מאפשרת להוכיח תוצאות כלליות הנובעות מאקסיומות הקטגוריות.

היות שקטגוריה בעצמה היא סוג של מבנה מתמטי, לכן ניתן לחפש תהליכים אשר משמרים את מבנה הקטגוריה. תהליך כזה מכונה פונקטור (functor). הוא מייחס לכל אובייקט בקטגוריה אחת אובייקט אחר בקטגוריה שנייה ולכל מורפיזם בקטגוריה אחת מורפיזם אחר בקטגוריה שנייה. באמצעות בחינת קטגוריות ופונקטורים אין אנו בוחנים רק את הקשרים בין מבנים מתמטיים ואת המורפיזמים הקיימים ביניהם אלא גם את היחסים בין מחלקות שונות של מבנים מתמטיים. רעיון זה הוא בסיסי, והוא צץ לראשונה בתחום הטופולוגיה האלגברית. באופן זה בעיות טופולוגיות קשות מיתרגמות לבעיות אלגבריות הניתנות לפתרון פשוט בהרבה.

תורת הקטגוריות מיושמת כיום בתחומי דעת מתמטיים רבים ובהם מדעי המחשב ופיזיקה.

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.