סדר (תורת החבורות)

בתורת החבורות, למושג סדר יש שתי משמעויות שונות, אך קשורות.

סדר של חבורה

בהינתן חבורה G, הסדר שלה הוא עוצמתה, |G|. העוצמה יכולה להיות סופית או אינסופית.

משפט לגראנז', שהוא אולי המשפט הבסיסי בכל תורת החבורות, קובע שהסדר של חבורה סופית מתחלק בסדר של כל תת-חבורה שלה.

מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את משפט קושי על קיומם של אברים בעלי סדר ראשוני, ואת משפטי סילו על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני.

סדר של איבר בחבורה

בהינתן חבורה $\,\! G$ ואיבר כלשהו $\,\! g\isin G$, הסדר של $\,\! g$ שמסומן $\,\! o(g)$ הוא החזקה הטבעית הקטנה ביותר $\,\! n$ של $\,\! g$ שעבורה $\,\! g^n=e$, האיבר האדיש בחבורה. אם לא קיים מספר שכזה, נאמר שהסדר של $\,\! g$ הוא אינסופי, ונסמן $\,\! o(g)=\infty$.

מסקנה אחת ממשפט לגראנז' מקשרת בין מושג הסדר של החבורה לסדר של איבר בחבורה - כאשר סדר החבורה סופי, הסדר של איבר בחבורה מחלק תמיד את סדר החבורה. נראה זאת: תהא $\,\! G$ חבורה סופית ויהא $\,\! g\isin G$ מסדר סופי. נביט בתת-החבורה הציקלית $\,\! \langle g\rangle$ הנוצרת על ידי $\,\! g$. סדר תת-החבורה הזו הוא בדיוק הסדר של $\,\! g$, כי החל מ$\,\! g^n$ מתחילים איברי החבורה לחזור על עצמם. על פי משפט לגראנז', סדר החבורה הזו מחלק את סדר $\,\! G$.

מכאן נובעת מסקנה מיידית חשובה נוספת: בהינתן חבורה סופית $\,\! G$, כל איבר בחבורה בחזקת סדר החבורה הוא האיבר האדיש. נראה זאת: יהא $\,\! g\isin G$ כלשהו, אז $\,\! o(g)||G|$ (קרי הסדר של $\,\! g$ מחלק את הסדר של $\,\! G$) ולכן $\,\! |G|=k\cdot o(g)$. על כן: $\,\! g^{|G|}=g^{k\cdot o(g)}=\left(g^{o(g)}\right)^k=e^k=e$.

עוד מסקנה מיידית היא שחבורה מסדר שהוא מספר ראשוני היא בהכרח ציקלית, וכל איבר פרט לאיבר האדיש הוא יוצר שלה (שכן הסדר של כל איבר פרט לאיבר האדיש הוא סדר החבורה).

דוגמה

לחבורה הסימטרית S₃ יש את לוח הכפל הבא:

•	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

בחבורה זו יש שישה איברים, כלומר הסדר של החבורה, $\,\! |S_3|$, הוא 6.
לפי הגדרה, הסדר, $\,\! o(e)$, של איבר היחידה, e, הוא 1. הסדר של כל אחד מהאיברים s, t, w הוא 2 (מכפלת כל אחד מאיברים אלה בעצמו היא איבר היחידה), והסדר של כל אחד מהאיברים u, v הוא 3.