משפטי סילו

משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בקיום תת-חבורות מסוימות בחבורה סופית. המסקנה המרכזית במשפטים אלה היא שאם $\ p^n$ היא החזקה המרבית של p ראשוני המחלקת את הסדר של חבורה G, אז יש לחבורה תת-חבורה מסדר $\ p^n$. חבורות מסדר כזה נקראות חבורות p, ויש להן מבנה מיוחד מאד. משפטי סילו מאפשרים לחקור כל חבורה סופית באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד המרכזי שלהן בתורת החבורות.

את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורבגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה $\ n=1$.

במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה H של G חייב לחלק את הסדר של G. משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק q של הסדר של G שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר q. משפטי סילו קובעים גם שכל החבורות שסדרן הוא חזקת-p מקסימלית, צמודות זו לזו.

הגדרות

אם מספר ראשוני $\ p$ מחלק את הסדר של החבורה הסופית $\ G$, אז קיימת חזקה מקסימלית של p המחלקת את הסדר: $\ p^n$ מחלק, אבל $\ p^{n+1}$ לא. לתת-חבורה של G שסדרה שווה ל- $\ p^n$ קוראים חבורת p-סילו של G. הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת p-סילו היא תת-חבורה של G שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-p.

לדוגמה, אם $|G|=24=2^3\cdot 3$, אז תת-חבורה מסדר 3 הינה חבורת 3-סילו של $\ G$, ותת-חבורה מסדר 8 הינה חבורת 2-סילו של $G$.

ניסוח המשפטים

נניח ש- G חבורה סופית, וש- $\ p^n$ היא חזקה מקסימלית של ראשוני p, המחלקת את הסדר של G. נסמן ב- $\ n_p$ את מספרן של חבורות p-סילו השונות של G. נציין מיד שאם P חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות p-סילו. בפרט, אם קיימת חבורת p-סילו יחידה (כלומר $\ n_p=1$), אז היא מוכרחה להיות תת חבורה נורמלית של G.

משפט סילו הראשון. יש ל-G חבורות p-סילו (דהיינו, $\ n_p>0$).

משפט סילו השני. מספרן של חבורות p-סילו של G שקול לאחת מודולו p: $\ n_p \equiv 1 \pmod{p}$.

משפט סילו השלישי. כל חבורות p-סילו של G צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורת p של G מוכלת באיזושהי חבורת p-סילו של G.

מסקנה. $\ n_p$ מחלק את הסדר של G. אם נכתוב $\ G = p^nm$, נובע מכך ש- $\ n_p$ מחלק את m. הוכחה. מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה H של G שווה לאינדקס של הנורמליזטור של H ב- G, שהוא תת-חבורה המכילה את H. אבל הנורמליזטור מכיל את H, לכן האינדקס שלו מחלק את זה של H, וממילא הוא זר ל-p.

דוגמה

נראה שלחבורה G מסדר 105 מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. $\ 105=3\cdot 5 \cdot 7$, ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר 3, 5 ו- 7. מספרן של החבורות מסדר 3 שקול ל- 1 מודולו 3 ומחלק את 35 - ולכן הוא 1 או 7. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר 5 הוא 1 או 21, ושל אלו מסדר 7 הוא 1 או 15. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש 7 חבורות מסדר 3, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן $\ 7\cdot (3-1)=14$ איברים מסדר 3. באופן דומה יש 84 איברים מסדר 5 ו- 90 מסדר 7. ביחד יותר מ- 105, וזה בלתי אפשרי.

הוכחות

למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של G. ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של G על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון.

הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב- X את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל $\ p^n$ של G. מכיוון ש- $\ |X|={|G| \choose p^n}={p^nm \choose p^n}$, קל לחשב ש- p אינו מחלק את העוצמה של X. החבורה פועלת על X על ידי כפל משמאל: $\ g : B \mapsto gB=\{gb: b\in B\}$.

מכיוון שהגודל של X אינו מתחלק ב- p, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של G, שגודלו אינו מתחלק ב- p. תהי $\ B\in X$ נקודה באותו מסלול; נבחר $\ b\in B$, אז גם $\ b^{-1}B$ היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של G. לכן אפשר להניח ש- $\ 1\in B$. מצד אחד, המייצב של B מוכל ב- B (שהרי $\ x\in xB = B$), ולכן גודלו $\ p^n$ לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את $\ p^nm$, אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל- p ומחלק את $\ m$. יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל- $\ p^n$, ואם כך הוא שווה ל- B; אבל אז B היא חבורת p-סילו.

כעת נסמן ב- S את אוסף חבורות p-סילו של G; המשפט הראשון טוען ש- S אינה ריקה. החבורה G פועלת על S לפי הצמדה.

טענה. אם תת-קבוצה T של S סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל- 1 מודולו p. הוכחה. ברור שכל חבורת p-סילו היא תת-חבורת-p מקסימלית. לכן, אם P,Q שתיהן חבורות p-סילו, אז PQ אינה תת-חבורה של G (אחרת סדרה היה שווה ל- $\ \frac{|P|\cdot |Q|}{|P\cap Q|}$, וזו חזקת-p גדולה מדי). מכאן יוצא ש- Q אינה יכולה לנרמל את P (אחרת $\ PQ=QP$ היא תת-חבורה).

כעת תהי P חבורת p-סילו; בתור תת-חבורה של G, גם P פועלת על S בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על T. גדלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של P, ולכן הם כולם חזקות של p. יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם 1, ואלה שגודלם מתחלק ב- p. אם Q היא נקודה יחידה במסלול, אז P מנרמלת את Q, וזה בלתי אפשרי - אלא אם Q=P. כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו 1, והוא המסלול המכיל את P בלבד. גדלי שאר המסלולים מתחלקים ב- p, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של T) שקול ל- 1 מודולו p.

הוכחת המשפט השני. מספיק לבחור T=S בטענה.

הוכחת המשפט השלישי. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-1 מודולו p. אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.