משפטי סילו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p של חבורה סופית. הטענה המרכזית במשפטים אלה היא שאם \ p^n היא החזקה המרבית של p ראשוני המחלקת את הגודל של חבורה G, אז יש ל-G תת-חבורה מסדר \ p^n. חבורות מסדר כזה נקראות חבורות p, ויש להן מבנה מיוחד מאד (למשל, הן נילפוטנטיות). משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות.

את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורבגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה \ n=1.

במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה H של G חייב לחלק את הסדר של G. משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק q של הסדר של G שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר q. משפטי סילו קובעים גם שכל החבורות שסדרן הוא חזקת-p מקסימלית, צמודות זו לזו.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ p הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית \ G, אז קיימת חזקה מקסימלית של p המחלקת את הסדר. כלומר \ p^n מחלק, אבל \ p^{n+1} לא. לתת-חבורה של G שסדרה שווה ל-\ p^n קוראים חבורת p-סילו של G. הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת p-סילו היא תת-חבורה של G שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-p.

לדוגמה, אם |G|=24=2^3\cdot 3 אז תת-חבורה מסדר 3 היא חבורת 3-סילו של \ G, ותת-חבורה מסדר 8 הינה חבורת 2-סילו של G.

ניסוח המשפטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח ש-G חבורה סופית וש-\ p^n היא חזקה מקסימלית של ראשוני p המחלקת את הסדר של G. נסמן ב-\ n_p את מספרן של חבורות p-סילו השונות של G. נציין מיד שאם P חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות p-סילו.

משפט סילו הראשון[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל חבורה G קיימת חבורת p-סילו. (דהיינו \ n_p>0).

הכללה של משפט זה קובעת שלכל חזקת p המחלקת את הסדר של G, לאו דווקא החזקה המקסימלית, קיימת תת-חבורה בגודל זה.

משפט סילו השני[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל חבורות p-סילו של G צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורה של G שהיא חבורת p, היא מוכלת באיזושהי חבורת p-סילו של G.

מסקנה

חבורת p-סילו היא יחידה (כלומר \ n_p=1) אם ורק אם היא תת חבורה נורמלית של G.

הוכחה: נניח כי P חבורת p-סילו. מתקיים כי P היא חבורת p-סילו יחידה אמ"מ כל התת-חבורות הצמודות של P שוות לה אמ"מ P נורמלית.

מסקנה

\ n_p מחלק את הסדר של G. אם נסמן \ G = p^nm, נובע מכך ש-\ n_p מחלק את m, שכן \ n_p לא מחלק את p, כפי שנובע ממשפט סילו השלישי.

הוכחה: דרך אחת היא לשים לב שמספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה H של G שווה לאינדקס של הנורמליזטור של H ב-G, שהוא תת-חבורה המכילה את H. אבל הנורמליזטור מכיל את H, לכן האינדקס שלו מחלק את זה של H, וממילא הוא זר ל-p.

דרך נוספת להסיק זאת היא מכך ש-G פועלת על קבוצת חבורות p-סילו שלה באמצעות הצמדה. כפי שנובע ממשפט סילו השני המסלול של חבורת p-סילו כלשהי P בפעולה זו הוא כל הקבוצה, ולכן גודלו של מסלול זה הוא \ n_p. כפי שנובע ממשפט מסלול מייצב, גודל מסלול מחלק את גודל החבורה הפועלת ולכן \ n_p מחלק את גודל G.

משפט סילו השלישי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מספרן של חבורות p-סילו של G שקול לאחת מודולו p. כלומר \ n_p \equiv 1 \pmod{p}

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נראה שלכל חבורה G מסדר 105 מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. \ 105=3\cdot 5 \cdot 7, ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר 3, 5 ו- 7. מספרן של החבורות מסדר 3 שקול ל- 1 מודולו 3 ומחלק את 35 - ולכן הוא 1 או 7. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר 5 הוא 1 או 21, ושל אלו מסדר 7 הוא 1 או 15. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש 7 חבורות מסדר 3, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן \ 7\cdot (3-1)=14 איברים מסדר 3. באופן דומה יש 84 איברים מסדר 5 ו- 90 מסדר 7. ביחד יותר מ- 105, וזה בלתי אפשרי.

הוכחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של G. ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של G על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון.

הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב- X את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל \ p^n של G. מכיוון ש- \ |X|={|G| \choose p^n}={p^nm \choose p^n}, קל לחשב ש- p אינו מחלק את העוצמה של X. החבורה פועלת על X על ידי כפל משמאל: \ g : B \mapsto gB=\{gb: b\in B\}.

מכיוון שהגודל של X אינו מתחלק ב- p, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של G, שגודלו אינו מתחלק ב- p. תהי \ B\in X נקודה באותו מסלול; נבחר \ b\in B, אז גם \ b^{-1}B היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של G. לכן אפשר להניח ש- \ 1\in B. מצד אחד, המייצב של B מוכל ב- B (שהרי \ x\in xB = B), ולכן גודלו \ p^n לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את \ p^nm, אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל- p ומחלק את \ m. יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל- \ p^n, ואם כך הוא שווה ל- B; אבל אז B היא חבורת p-סילו.

כעת נסמן ב- S את אוסף חבורות p-סילו של G; המשפט הראשון טוען ש- S אינה ריקה. החבורה G פועלת על S לפי הצמדה.

טענה. אם תת-קבוצה T של S סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל- 1 מודולו p. הוכחה. ברור שכל חבורת p-סילו היא תת-חבורת-p מקסימלית. לכן, אם P,Q שתיהן חבורות p-סילו, אז PQ אינה תת-חבורה של G (אחרת סדרה היה שווה ל- \ \frac{|P|\cdot |Q|}{|P\cap Q|}, וזו חזקת-p גדולה מדי). מכאן יוצא ש- Q אינה יכולה לנרמל את P (אחרת \ PQ=QP היא תת-חבורה).

כעת תהי P חבורת p-סילו; בתור תת-חבורה של G, גם P פועלת על S בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על T. גדלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של P, ולכן הם כולם חזקות של p. יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם 1, ואלה שגודלם מתחלק ב- p. אם Q היא נקודה יחידה במסלול, אז P מנרמלת את Q, וזה בלתי אפשרי - אלא אם Q=P. כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו 1, והוא המסלול המכיל את P בלבד. גדלי שאר המסלולים מתחלקים ב- p, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של T) שקול ל- 1 מודולו p.

הוכחת המשפט השלישי. מספיק לבחור T=S בטענה.

הוכחת המשפט השני. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-1 מודולו p. אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.