סוגרי פואסון

סוגרי פואסון הוא אופרטור לינארי הפועל על שתי פונקציות.

הגדרתו של האופרטור היא:

$\{u,v\}_{q,p}=\frac{\partial u}{\partial q}\frac{\partial v}{\partial p}- \frac{\partial v}{\partial q}\frac{\partial u}{\partial p}$

$u(q,p) , v(q,p)$	הן פונקציות גזירות התלויות ב $q,p$,
$q,p$	הם משתנים

האופרטור נמצא בשימוש נרחב במכניקה אנליטית.

סוגרי פואסון במספר משתנים

יהיו $(q_i,p_j)$ קואורדינטות קנוניות במרחב הפאזה. יהיו $f(p_i,q_i,t)$ ו- $g(p_i,q_i,t)\,$ שתי פונקציות גזירות בקואורדינטות הקנוניות. אזי סוגרי פואסון מוגדרים להיות:

$\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]$

תכונות אלגבריות

• לינאריות

$\{\lambda u,\sigma v\}_{q,p}=\lambda \sigma \{u,v\}_{q,p}$

• אנטי סימטריות

$\{u,v\}_{q,p}=-\{v,u\}_{q,p}$

• מקיים את חוק לייבניץ לנגזרות

$\{f,gh\}_{q,p}=\{f,g\}_{q,p}h+g\{f,h\}_{q,p}$

• זהות יעקובי

$\{u,\{v,w\}\}_{q,p}+\{w,\{u,v\}\}_{q,p}+\{v,\{w,u\}\}_{q,p}=0$

שימושים בפיזיקה

בפיזיקה, משוואות הפורמליזם ההמילטוניאני מנוסחות בעזרת סוגרי פואסון. בעזרת סוגרי הפואסון ניתן להגדיר את המשתנים הקנוניים של המערכת.

במכניקה קוונטית, הקומוטטור מקיים את אותן תכונות אלגבריות כמו סוגרי הפואסון, ומשוואות התנועה מתקבלות על ידי החלפת סוגרי הפואסון במכניקה המילטוניאנית בקומוטטורים.