מכניקה אנליטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מכניקה אנליטית היא תורה שפיתחו ז'וזף לואי לגראנז', ויליאם רואן המילטון וקרל גוסטב יעקב יעקבי במאה ה-19. תורה זו היא ניסוח פורמליסטי חלופי ושקול למכניקה הקלאסית (ה"ניוטונית"). לעומת המכניקה הקלאסית שבה ההתפתחות בזמן מתוארת על ידי משוואת מצב, במכניקה אנליטית נעשה שימוש בעקרון הפעולה המזערית: הגופים בוחרים לנוע במסלול אשר עבורו פעולה מסוימת היא מזערית. הפורמליזם של מכניקה אנליטית מסתמך על חשבון הווריאציות שפיתח לאגראנז', המאפשרת פתרון בעיות של מציאת מינימום תחת אילוצים. משום כך היא מאפשרת לפתור בקלות בעיות של תנועה תחת אילוצים, שבפורמליזם הניוטוני הן מסובכות לפתרון. המכניקה האנליטית הביאה ללידתו של החשמל האנליטי, שבו גם משוואות מקסוול כתובות בצורה של פעולה מינימלית. למכניקה האנליטית חשיבות רבה בתורת הקוונטים: המעבר בין תורת הקוונטים למצבים קלאסיים קל להבנה במונחים של מכניקה קלאסית ולא במונחים של מכניקה ניוטונית.

תוכן עניינים

1 עקרונות המכניקה האנליטית
- 1.1 עקרון הפעולה המינימלית
- 1.2 קוארדינטות מוכללות
2 התפתחויות נוספות
3 ראו גם
4 הערות שוליים

[עריכה] עקרונות המכניקה האנליטית

[עריכה] עקרון הפעולה המינימלית

במכניקה הקלאסית תנועת גופים מתוארת על ידי משוואות תנועה בהם התאוצה של כל גוף בכל רגע נתון נתונה על פי מיקומיהם ומהירויותיהם של הגופים. מכאן שבהינתן מצב מסוים ניתן לחשב לאן ינועו כל הגופים בחלקיק הזמן הבא, וכך לקבל את ההתפתחות בזמן של הגופים.

במכניקה אנליטית הגישה שונה ומתבססת על עקרון הפעולה המזערית. את העיקרון הזה קל להבין בניתוח תנועת קרני אור: הן נעות במסלול המהיר ביותר בין שני קצוות המסלול. כלומר, האור בוחר את המסלול שבו פעולה מסוימת (זמן המעוף) היא מינימלית. באותו אופן הראה לאגראנז' שתנועת גופים תהיה במסלול שעבורו פעולה, הנקראת היום לגראנז'יאן, היא מינימלית.

[עריכה] קוארדינטות מוכללות

במסגרת המכניקה האנליטית מתארים את הבעיה לא בהסתכלות על הגוף הנע, אלא בהגדרת קואורדינטות מוכללות $\ q_i$ מתאימות לבעיה, וזיהוי משתני התנע הצמודים אליהן, $\ p_i$ . ככל שישנם יותר אילוצים בבעיה, כך מצטמצם מספר הקואורדינטות הנדרש כדי לתאר אותה. כך, למשל, גוף הנע במישור דורש שתי קואורדינטות לעומת שלוש קואורדינטות במרחב תלת-ממדי. באופן דומה, את תנועתה של רכבת הרים בלונה פארק, למרות היותה במרחב תלת-ממדי, ניתן לתאר בעזרת קואורדינטה בודדת, שהיא לדוגמה המרחק שהרכבת עברה על המסילה עצמה),

בשלב הבא, מציבים את הקואורדינטות והתנעים לקבלת ביטוי לאופרטורים - פעולות מתמטיות על פונקציות של הזמן. שני המרכזיים שבהם הם הלגראנז'יאן $\ L$ , שהוא ההפרש בין האנרגיה הקינטית $\ T$ לפוטנציאלית $\ U$ ‏( $\ L=T-U$ ) וההמילטוניאן, אופרטור שבמקרה של אנרגיה קינטית הוא פונקציה הומוגנית מסדר שני של מהירויות, מבטא את האנרגיה הכללית של המערכת שבה עוסקת הבעיה (בניסוח מתמטי: $H=\sum_{i}^{}p_i \dot{q}_i -L$ ). אופרטור נוסף, הרותיאן, מאופיין בנוסחה דומה להמילטוניאן, אך מבוטא בעזרת מונחים של קואורדינטות, מהירויות ותנעים מוכללים, בניגוד להמילטוניאן המבוטא בעזרת תנע וקואורדינטות בלבד.

להזנת האופרטורים במידע אודות הקואורדינטות והזמן מצטרפים אילוצי הבעיה, שמגדירים דרישות נוספות מהפתרון. כך, למשל, הפעלת אינטגרל לפי הזמן על הלגראנז'יאן, תיתן את הפעולה הבאה: $S = \int_{t_1}^{t_2}{ L(x,\dot{x},t) \ dt}$ . על ידי דרישה פיזיקלית שלפיה הפעולה שתתקיים היא זו שתביא את $\ S$ לערך קיצון (מרבית או (בדרך כלל) מזערית) מתקבלות משוואות אוילר-לגראנז' ( $\ \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{ \partial \dot{x} } \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0$ ) השקולות לאלה המוכרות מהמכניקה הניוטונית.

[עריכה] התפתחויות נוספות

על סמך העקרונות המתוארים לעיל פותחו שיטות רבות, ביניהן מכניקה המילטונית, משוואת המילטון-יעקובי, וטרנספורמציות קנוניות, שמהותן חיזוק הכלים לפתרון בעיות מכניות. ישנן התפתחויות עקרוניות לתורה כגון תורת ההפרעות המאפשרת לדון במערכות עם בזבוז אנרגיה (דיסיפציה) וכאוס ודנה במערכות עם משוואות לא לינאריות.

בשנת 1918 ניסחה המתמטיקאית אמי נתר את "משפט נתר" והוכיחה אותו. המשפט קושר בין סימטריות של מערכת פיזיקלית וחוקי שימור שהיא מקיימת, וקובע כי עבור כל סימטריה רציפה (וגזירה) של הפעולה, קיים גודל שמור.^[1] כך למשל, חוק שימור האנרגיה נובע מסימטריה להזזה בזמן, חוק שימור התנע נובע מסימטריה להזזה מרחבית וחוק שימור המטען החשמלי נובע מסימטריית כיול. למשפט נתר חשיבות גדולה במכניקה אנליטית בפרט ובפיזיקה תאורטית ככלל.

למכניקה האנליטית יישומים רבים בתחומים שונים של הפיזיקה, אך היא כושלת בהתמודדות עם בעיות מתחום התרמודינמיקה, שכן מספרם העצום של החלקיקים המעורבים במערכת הופך את פתרון משוואות התנועה שלהם לבלתי אפשרי. כדי לפתור בעיות מסוג זה פותחו בתרמודינמיקה כלים אחרים בדמות התאוריה הקינטית של הגזים והמכניקה הסטטיסטית.

כיום, במכניקת הקוונטים, אשר סותרת לכאורה את המכניקה הקלאסית, משתמשים דווקא במונחים מהמכניקה האנליטית ופחות במונחים ניוטוניים, תוך הכללתם לעולם התוכן הקוונטי. כך, בתורת הקוונטים, אופרטור ההתפתחות בזמן מוגדר על ידי ההמילטוניאן של הבעיה, ואילו בתורת השדות הקוונטית משתמשים בלגראנז'יאן של השדה כמושג מרכזי.

עיינו גם בפורטל

פורטל הפיזיקה מהווה שער לחובבי הפיזיקה ולמתעניינים בתחום. בפורטל תוכלו למצוא מידע על פיזיקאים חשובים, על ענפי הפיזיקה, על תאוריות פיזיקליות ועוד.

[עריכה] ראו גם

[עריכה] הערות שוליים

^ זהו ניסוח פשטני שבדרך כלל נמצא בשימוש בפיזיקה. הניסוח המקורי של המשפט כולל הבחנה בין חבורות סימטריה סופיות ואינסופיות. כמו כן גם הכיוון ההפוך של המשפט נכון - כל גודל שמור מתקבל מסימטריה כלשהי של הפעולה.

[0] זהו ניסוח פשטני שבדרך כלל נמצא בשימוש בפיזיקה. הניסוח המקורי של המשפט כולל הבחנה בין חבורות סימטריה סופיות ואינסופיות. כמו כן גם הכיוון ההפוך של המשפט נכון - כל גודל שמור מתקבל מסימטריה כלשהי של הפעולה.

[1]

מכניקה אנליטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] עקרונות המכניקה האנליטית

[עריכה] עקרון הפעולה המינימלית

[עריכה] קוארדינטות מוכללות

[עריכה] התפתחויות נוספות

[עריכה] ראו גם

[עריכה] הערות שוליים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

שפות אחרות