פורטל:מתמטיקה/חידה/132

שני כדורים במסות m ו- M (כאשר $m<M$ ) מונחים על מסילה אופקית ישרה וחסרת חיכוך. בסוף המסילה נמצא קיר אנכי. הכדורים ממוקמים על המסילה כך שהכדור שמסתו m קרוב יותר לקיר. מעניקים לכדור שמסתו M מהירות $V_{0}$ בכיוון הכדור השני. כתוצאה מההתנגשות הכדור הקטן נרתע, פוגע בקיר וחוזר ממנו באותה המהירות, לאחר מכן פוגע בכדור הכבד שוב, לאחר מן מוחזר מהקיר שוב, וחוזר חלילה. הנח שכל ההתנגשויות אלסטיות לחלוטין. השאלה היא: כמה התנגשויות יתרחשו עד שההתנגשויות בין הכדור הקטן והקיר ובין שני הכדורים ייפסקו? בחישוב מספר ההתנגשויות מנה גם את ההתנגשויות בין הכדורים.

פתרון

נגדיר

\alpha =arctan({\sqrt {\frac {M}{m}}})

$\theta _{0}=\pi -2\alpha$

והתשובה מתקבלת על ידי פונקציית הרצפה הבאה : $2([{\frac {\alpha }{\theta _{0}}}]+1)+1$ .

הסבר: נציג את מצב המערכת במרחב פאזה עם שני צירים – אחד מייצג את מהירות הכדור הגדול והשני מייצג את מהירות הכדור הקטן. מצב של המערכת, כלומר צמד מהירויות $(V_{M},V_{m})$ , מיוצג על ידי נקודה במישור הזה. בכל התנגשות של הכדורים התנע והאנרגיה נשמרים. האנרגיה נשמרת לאורך כל המסלול במרחב הפאזה שהמערכת עוברת, בניגוד לתנע שנשמר רק בהתנגשויות בין הכדורים. אוסף כל הנקודות $(V_{M},V_{m})$ שמקיימות שסך האנרגיה הקינטית של שני הכדורים שווה לאנרגיה ההתחלתית E של המערכת מקיים: ${\frac {1}{2}}(mV_{m}^{2}+MV_{M}^{2})=E={\frac {1}{2}}MV_{0}^{2}$ . עקום שווה אנרגיה זה הוא אליפסה עם אורכי צירים $2V_{0},2V_{0}{\sqrt {\frac {M}{m}}}$ . באופן דומה ניתן לשרטט עבור ההתנגשות בין הכדורים קווים ישרים שווי תנע שמשוואתם $mV_{m}+MV_{M}=-MV_{0}$ . המסלול במרחב הפאזה שהמערכת של שני הכדורים עוברת מתקבל על ידי הפעלה לסירוגין של שתי הפעולות הבאות:

חיתוך של קו שווה תנע ששיפועו $-{\frac {M}{m}}$ עם העקום שווה האנרגיה שמייצג את המערכת.
שיקוף של מצב המערכת יחסית לציר ה- $V_{M}$ , המייצג את העובדה שמהירות הכדור הקטן מתהפכת בכיוונה עקב ההתנגשות עם הקיר, בעוד מהירות הכדור הגדול נשארת זהה.

כעת נותר לנתח את הגאומטריה של הבעיה. כדי לפשט את הגאומטריה של הבעיה נדחס את האליפסה שהתקבלה למעגל שרדיוסו $V_{0}$ (באמצעות טרנספורמציית כיווץ פי ${\sqrt {\frac {M}{m}}}$ בציר $V_{m}$ ), ונקבל ששיפוע הקווים שווי התנע הוא כעת $-{\sqrt {\frac {M}{m}}}$ . הזווית שקו שווה תנע זה יוצר עם ציר $V_{M}$ היא $\alpha =arctan({\sqrt {\frac {M}{m}}})$ . הזווית המרכזית במעגל המתאימה לקו שווה התנע שמחבר בין $(-V_{0},0)$ לנקודה המייצגת את מצב המערכת אחרי ההתנגשות הראשונה היא $\theta _{0}=\pi -2\alpha$ . עקב פעולת השיקוף זווית זו עוברת ל- $-\theta _{0}$ . לאחר מכן ניתן להסיק מגאומטריה, שהזווית המרכזית המתאימה למיתר שמחבר בין $(-V_{0},0)$ למצב המערכת אחרי ההתנגשות השנייה בין הכדורים היא: $\theta _{0}+\theta _{0}=2\theta _{0}$ , ובאופן דומה הזווית המרכזית המתקבלת אחרי n התנגשויות בין הכדורים היא $n\theta _{0}$ . הפעולות נעצרות כאשר הנקודה המייצגת את מצב המערכת נמצאת בין הציר $V_{M}$ לקו $V_{m}=-{\sqrt {\frac {m}{M}}}V_{M}$ , מה שאומר שתחת מתיחה בחזרה לאליפסה המקורית הנקודה תימצא בין ציר ה- $V_{M}$ לקו $V_{m}=-V_{M}$ , מה שאומר שמהירות שני הכדורים חיובית ומהירות הכדור הגדול גבוהה ממהירות הכדור הקטן (לכן אין עוד התנגשויות). התוצאה המתקבלת היא: $2([{\frac {\alpha }{\theta _{0}}}]+1)+1$ .