כדור (גאומטריה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

כדור הוא גוף התחום בתוך ספירה. כל הנקודות על פני ספירה נמצאות במרחק שווה ממרכז הספירה. כדור הוא הכללה של עיגול למרחב תלת-ממדי. באופן דומה אפשר להכליל את מושג ה"כדור" למרחב בעל n ממדים. בערך זה נתמקד בכדור הגאומטרי התלת ממדי.

כדור הכולל את שפתו (הספירה) נקרא כדור סגור. כדור ללא שפתו נקרא כדור פתוח. לערך העוסק בפנים של הספירה במרחב מטרי כלשהו, ראו כדור (טופולוגיה).

משוואת הכדור[עריכת קוד מקור | עריכה]

במרחב האוקלידי התלת ממדי, אלמנט מרחק ds נתון על ידי הנורמה הבאה:

\!\, ds = \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2  }

ולכן מההגדרה הבאה של הכדור המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנמצאות במרחק קטן או שווה ל-R מנקודה מסוימת "המרכז" נובע שהמשוואה המגדירה את הכדור הסגור היא

\!\, x^2 + y^2 + z^2 \le R^2

כאשר x,y,z הם הקואורדינטות במערכת צירים קרטזית של נקודה על פני הכדור ומרכז הכדור הוא ראשית הצירים. למרחק R קוראים הרדיוס ("מחוג") של הכדור.

ניתן להוכיח זאת על ידי ווקטור אלגברי במרחב, בדרך של מציאת האורך שלו והשוואתו לערך קבוע (הרדיוס).

\!\, \vec{v}=(x,y,z)
\!\,\left|\vec{v}\right|=R
\!\,\left|\vec{v}\right|=\sqrt{\vec{v}^2}
\!\,R=\sqrt{\vec{v}^2}
\!\,R^2=\vec{v}^2
\!\,\vec{v}^2=x^2+y^2+z^2
\!\,R^2=x^2+y^2+z^2

משוואת כדור סגור במערכת צירים קרטזית שמרכזו \!\,(x_0,y_0,z_0) היא

\!\, (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \le R^2

תכונות גאומטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הכדור הינו הצורה שלה שטח פנים מינימלי לכל נפח מוגדר (אי-שוויון איזופרימטרי). לדוגמה, טיפת מים שבשל מתח הפנים שלה, רוצה להגיע למינימום שטח פנים, תשאף להיות בצורת כדור.

הכללה ל-n ממדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להכליל את הכדור לממד כללי n (כאשר n מספר שלם חיובי). n-כדור מסומן בדרך כלל כ- Bn והוא מוגדרת כאוסף הנקודות במרחב אוקלידי n-ממדי שנמצאות במרחק קטן מ-r מנקודה כלשהי במרחב (כמובן , r, הרדיוס, הוא מספר ממשי חיובי כלשהו).

בפרט:

  • 0-כדור הוא נקודה.
  • 1-כדור הוא קטע בישר.
  • 2-כדור הוא עיגול במישור.
  • 3-כדור הוא הכדור התלת ממדי.

שטח הפנים של n-כדור ברדיוס 1 הוא 2 \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}, כאשר \ \Gamma(z) היא פונקציית גמא.

נוסחה מפורשת לשטח הפנים של n-כדור:


A =
  \begin{cases}
    \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)} ,      & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\
    \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)} , & \text{if } n \text{ is odd}.
  \end{cases}

נפח הכדור שטח הפנים כפול {r \over n}. בצורה מפורשת, הנפח נתון על ידי:


V = 
  \begin{cases}
    \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n} ,      & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\
    \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n} , & \text{if } n \text{ is odd}.
  \end{cases}

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]