כדור (גאומטריה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

כדור, או ליתר דיוק ספירה

כדור הוא גוף תלת ממדי המאופיין בתכונה שכל נקודה על פניו נמצאת במרחק שווה מהמרכז. במובן מסוים, כדור הוא הכללה של עיגול למרחב תלת-ממדי. באופן דומה אפשר להכליל את מושג ה"כדור" למרחב בעל n ממדים. בערך זה נתמקד בכדור הגאומטרי התלת ממדי.

[עריכה] משוואת הכדור

במרחב האוקלידי התלת ממדי, אלמנט מרחק ds נתון על ידי הנורמה הבאה:

$\!\, ds = \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 }$

ולכן מההגדרה הבאה של הכדור המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנמצאות במרחק קבוע R מנקודה מסוימת "המרכז" נובע שהמשוואה המגדירה את הכדור היא

$\!\, x^2 + y^2 + z^2 = R^2$

כאשר x,y,z הם הקואורדינטות של מערכת צירים קרטזית ומרכז הכדור הוא ראשית הצירים. למרחק R קוראים הרדיוס ("מחוג") של הכדור.

ניתן להוכיח זאת על ידי ווקטור אלגברי במרחב, בדרך של מציאת האורך שלו והשוואתו לערך קבוע (הרדיוס).

$\!\, \vec{v}=(x,y,z)$

$\!\,\left|\vec{v}\right|=R$

$\!\,\left|\vec{v}\right|=\sqrt{\vec{v}^2}$

$\!\,R=\sqrt{\vec{v}^2}$

$\!\,R^2=\vec{v}^2$

$\!\,\vec{v}^2=x^2+y^2+z^2$

$\!\,R^2=x^2+y^2+z^2$

משוואת כדור במערכת צירים קרטזית שמרכזו $\!\,(x_0,y_0,z_0)$ היא

$\!\, (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$

[עריכה] תכונות גאומטריות

שטח הפנים של כדור בעל רדיוס R הוא $A = 4\cdot \pi\cdot R^2 \,$ .
הנפח של כדור בעל רדיוס R הוא $V = \frac{4\cdot \pi\cdot R^3}{3}$ .

הכדור הינו הצורה שלה שטח פנים מינימלי לכל נפח מוגדר. לדוגמה, טיפת מים שבשל מתח הפנים שלה, רוצה להגיע למינימום שטח פנים, תשאף להיות בצורת כדור.

[עריכה] הכללה ל-n ממדים

ניתן להכליל את הכדור, או ליתר דיוק את הספירה (Sphere, פני הכדור) לממד כללי n (כאשר n מספר שלם חיובי). n-ספרה מסומנת בדרך כלל כ- Sⁿ והיא מוגדרת כאוסף הנקודות במרחב אוקלידי (n+1)-ממדי שנמצאים במרחק r מנקודה כלשהי במרחב (כמובן , r, הרדיוס, הוא מספר ממשי חיובי כלשהו).

בפרט:

0-ספירה היא זוג נקודות של קטע פתוח (−r, r) בישר הממשי.
1-ספירה היא מעגל ברדיוס r במישור.
2-ספירה היא הספרה הרגילה (פני כדור) במרחב האוקלידי התלת-ממדי.
3-ספירה היא ספרה המשוכנת במרחב ה-4 ממדי.

n-ספירות עם n > 2 נקראות בדרך כלל היפר-ספרה.

ה-n-ספירה עם רדיוס באורך יחידה הממורכזת סביב הראשית מסומנת ב-Sⁿ ומוגדרת על ידי

$\ S^n = \{ (x_1 , \cdots , x_n) | x_1^2 + \cdots + x_n^2 = 1 \}$ .

בדרך כלל כשאומרים "ה-n-ספירה" מתייחסים ל-n-ספרה זאת.

שטח הפנים של n-1 ספירה ברדיוס 1 הוא

$2 \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}$

כאשר $\ \Gamma(z)$ היא פונקציית גמא.

נוסחה מפורשת לשטח הפנים של n-1 ספירה:

$A = \begin{cases} \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)} , & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)} , & \text{if } n \text{ is odd}. \end{cases}$

ונפח הכדור התחום על ידי הספירה הוא שטח הפנים כפול ${r \over n}$ או במפורשות:

$V = \begin{cases} \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n} , & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n} , & \text{if } n \text{ is odd}. \end{cases}$

[עריכה] ראו גם

כדור (גאומטריה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] משוואת הכדור

[עריכה] תכונות גאומטריות

[עריכה] הכללה ל-n ממדים

[עריכה] ראו גם

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

ניווט

קהילה

תיבת כלים

שפות אחרות