ריבוע הקסם של פרוידנטל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

ריבוע הקסם של פרוידנטל הוא תבנית המארגנת בניה אחידה של כמה אלגברות לי, חלקן ספורדיות. הריבוע נקרא על-שם הנס פרוידנטל שפיתח את הבניה במקביל לז'אק טיץ. ריבוע הקסם מתאים לזוג אלגברות הרכב מעל הממשיים אלגברת לי, שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מוצג בריבוע, כדלקמן:

ריבוע הקסם
\ \mathbb{O} \ \mathbb{H} \ \mathbb{C} \ \mathbb{R}
\ F_4 \ C_3 \ A_2 \ A_1 \ \mathbb{R}
\ E_6 \ A_5 \ A_2\!\oplus\!A_2 \ A_2 \ \mathbb{C}
\ E_7 \ A_6 \ A_5\quad \ C_3 \ \mathbb{H}
\ E_8 \ E_7 \ E_6\quad \ F_4 \ \mathbb{O}

השורה האחרונה בריבוע כוללת את כל האלגברות הספורדיות, למעט \ G_2, ומדגימה עד כמה קשורות האלגברות הספורדיות לאלגברת האוקטוניונים (\ G_2 עצמה היא אלגברת הנגזרות של אלגברת האוקטוניונים).

בניית טיץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

כידוע, יש בדיוק ארבע אלגברות הרכב עם יחידה, ללא מחלקי אפס, מעל הממשיים: שדה הממשיים עצמו, \ \mathbb{R}, שדה המספרים המרוכבים \ \mathbb{C}, אלגברת הקווטרניונים של המילטון \ \mathbb{H} ואלגברת האוקטוניונים \ \mathbb{O}. תיאור דומה נכון מעל כל שדה: פרט לשדה עצמו, אפשר למנות את ההרחבות הריבועיות הספרביליות, את אלגברות הקווטרניונים, ואת אלגברות קיילי. על אלגברות אלה מוגדרת אינוולוציה סטנדרטית \ x\mapsto \bar{x}, שאפשר להמשיך אותה גם לאלגברות של מטריצות מעליהן. ההעתקה \ t(a)=a+\bar{a} מ-A לשדה הסקלרים נקראת העתקת העקבה.

נניח שהמאפיין זר ל-6, ותהיינה A,B אלגברות מהנזכרות מעלה. נסמן ב- J את אלגברת ז'ורדן של כל המטריצות ההרמיטיות מסדר 3 מעל B. נסמן ב- \ A_0 וב-\ J_0 את אוסף האיברים בעלי עקבה 0 ב-A וב-J, בהתאמה. בניית טיץ של A ו-B מחזירה את המרחב הווקטורי \ \operatorname{Der}A \oplus A_0 \otimes J_0 \oplus \operatorname{Der}J, כאשר \ \operatorname{Der}A היא אלגברת הנגזרות (וכך גם ל-J), עם פעולת כפל \ [\cdot,\cdot] ההופכת אותו לאלגברת לי, ומוגדרת כך ששני מרכיבי הנגזרות הם תת-אלגברות המתחלפות זו עם זו, ופועלות באופן טבעי על המרכיב הנותר: \ [a\otimes x,D+E] = D(a)\otimes E(x) כאשר \ a\in A_0, x \in J_0, D \in \operatorname{Der}A, E \in \operatorname{Der}J. פעולת הכפל בין אברי המכפלה הטנזורית מסובכת יותר: \ [a\otimes x,b\otimes y] = \frac{1}{12}\operatorname{tr}(xy)D_{a,b} + (ab)\otimes(xy) + \frac{1}{2}t(ab)[R_x,R_y], כאשר \ D_{a,b} = R_{[x,y]}-L_{[x,y]}-3[L_x,R_y].

אם A היא מן הטיפוס המציין שורה ו-B מן הטיפוס המציין עמודה, התוצאה היא אלגברת לי פשוטה (או, במקרה אחד, פשוטה למחצה), שדיאגרמת דינקין שלה מופיעה בריבוע הקסם.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]