אלגברת הקווטרניונים של המילטון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, אלגברת הקווטרניונים של המילטון, המסומנת \mathbb{H}, היא מבנה אלגברי שאבריו הם מספרים מהצורה \ a+ib+jc+kd כאשר \ a,b,c,d הם מספרים ממשיים, ו-\ i, j, k מקיימים: i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\,. זוהי אלגברת קווטרניונים שמרכזה הוא שדה המספרים הממשיים. את המבנה גילה ב-1843 המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון, אשר חיפש דרך לייצג נקודות במרחב בדרך המאפשרת לבצע על הנקודות פעולות חיבור וכפל, לפני המצאת הווקטור.

הקווטרניונים הם הרחבה של שדה המספרים המרוכבים לארבעה ממדים.

שלט המדווח על גילויו של המילטון על גשר ברום

מספרים מרוכבים שימשו לייצוג נקודות במישור הדו ממדי באופן המאפשר ביצוע פעולות חיבור וכפל, והמילטון חיפש דרך לייצג באופן דומה נקודות במרחב התלת-ממדי. נסיונות אלו כשלו, אולם הרחבה למרחב של ארבעה ממדים נמצא בדמות הקוורטניונים. השימוש בקווטרניונים חייב את נטישת חוק החילוף, דבר שהיה מהפכני באותם ימים. בהמשך, פותחו הווקטור והמטריצה והשימוש בקווטרניונים לצורכי הצגה גרפית דעך. עם זאת, עדיין קיימים שימושים בקווטרניונים, למשל בגרפיקת תלת ממד.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקווטרניונים הומצאו על ידי המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון ופורסמו על ידיו בשנת 1843. קדמו לגילוי של המילטון זהות סכום ארבעת הריבועים של אוילר משנת 1748, ונוסחת אוילר-רודריגז לתאור סיבובים משנת 1840 שמכילה למעשה את עיקר התאור של הקווטריונים. כמו כן ממצאים מראים שהמתמטיקאי הגדול קרל פרידריך גאוס גילה את הקווטרניונים בשנת 1819 אך לא פרסם את ממצאיו.

המילטון שאב השראה מההקבלה בין מספרים מרוכבים לבין נקודות על מישור דו-ממדי. ההקבלה מבוססת על כך שמספר מרוכב ניתן לכתוב בתור: c=x+yi=re^{i\theta} ואותו ניתן לייחס לנקודה שהקורדינטות שלה הם (x,y). באופן דומה ניתן לתאר פעולות גאומטריות באמצעות פעולות אלגבריות על מספרים מרוכבים. לדוגמה סיבוב של נקודה c=x+iy בזווית \alpha מתבצעת על ידי הכפלה: c'=ce^{i\alpha}=c(cos(\alpha)+isin(\alpha)). בהתבסס על הקבלה זאת חיפש המילטון הכללה של המספרים המרוכבים שתאפשר לתאר גאומטריה תלת-ממדית. חיפושיו של המילטון לנוסחא שתאפשר הכפלה של שלשות מספרים עלו בתוהו. ב-16 באוקטובר 1843, בעת טיול עם אשתו לאורך התעלה המלכותית בדבלין, בעת שהשניים עברו בסמוך לגשר ברוגהם (Brougham Bridge) מצא המילטון את הבסיס לנוסחת הכפל של רביעיות מספרים. התלהבותו של המילטון מהתגלית הייתה כה גדולה עד כי, במעשה שכונה מאוחר יותר 'אקט של ואנדליזם מתמטי' הוא חרט על הגשר את הנוסחא הבסיסית לכפל קווטרניונים: i^2=j^2=k^2=ijk=-1. המילטון כינה את המספרים שגילה בשם 'קווטרניונים' והקדיש למחקר וההפצה של הרעיון את שארית חייו. ספרו האחרון והארוך ביותר של המילטון 'יסודות הקווטרניונים' התפרסם לאחר מותו, ב-1863.

תלמידיו וממשיכי דרכו של המילטון, פיטר טייט ובנימין פירס הרחיבו על האופן שבו ניתן להשתמש בקווטרניונים לתאור פרקים בגאומטריה ובפיזיקה. כך לדוגמה הם הראו שאת משוואות מקסוול ניתן לכתוב באופן פשוט באמצעות קווטרניונים. בסוף שנות ה-80 התנהל ויכוח מדעי ער בין התומכים בשימוש בקווטרניונים לתאור גאומטריה תלת-ממדית, לבין התומכים בשימוש באנליזה וקטורית. בין היתר בזכות תמיכתם של פיזיקאים ומתמטיקאים כמו ג'וסיה וילארד גיבס ואוליבר הביסייד הפך השימוש באנליזה וקטורית למקובל על הרוב המכריע של הקהילה המדעית. תמיכה זאת נבעה בין היתר מכך שתאור של גאומטריה אלגברית על ידי וקטורים נחשבה לפשוטה ואינטואיטיבית יותר, ומשום שהיא ניתנת להכללה לכל מספר שהוא של ממדים.

לקראת סוף המאה ה-20 החל מתגבר השימוש בקווטרניונים לתאור סיבובים במגוון של תחומים הכוללים גרפיקה ממוחשבת, אווירודינמיקה, תורת הבקרה, עיבוד אותות, פיזיקה וביואינפורמטיקה. משחק המחשב טומב ריידר משנת 1996 נחשב למשחק המסחרי הראשון שהמנוע הגרפי שלו מבוסס על קווטרניונים, והיום נעשה בקווטרניונים שימוש במרבית משחקי המחשב המסחריים.

תכונות בסיסיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מתוך השוויון i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\, נובעים השוויונות הבאים:

\ ij=k, אבל \ ji=-k;
\ jk=i, אבל \ kj=-i;
\ ki=j, אבל \ ik=-j.

קווטרניונים אלה יוצרים את חבורת הקווטרניונים.

החיבור של שני קווטרניונים הוא:  \left( a_1+b_1i+c_1j+d_1k \right) + \left( a_2+b_2i+c_2j+d_2k \right) = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i+(c_1+c_2)j+(d_1+d_2)k .

הכפל מתקבל לאחר פתיחת הסוגריים ושימוש בזהויות שלעיל. תחת פעולות אלה של חיבור וכפל, הקווטרניונים מהווים חוג. באופן מפתיע, לכל קווטרניון (פרט לקווטרניון האפס) יש איבר הפכי, ומה שמונע מהקווטרניונים להיות שדה הוא דווקא אי-קיום תכונת הקומוטטיביות (חילופיות): עבור קווטרניונים  \mathbf {A, B} , בדרך כלל  \mathbf {AB} \neq \mathbf {BA} .

באנלוגיה למספרים מרוכבים, מגדירים צמוד של קווטרניון:  \ \bar {q} = a-(bi+cj+dk) - וערך מוחלט של קווטרניון:  |q|= |a+(bi+cj+dk)| = \sqrt{q\bar q } = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2} . בהתאם לזהות ארבעת הריבועים,  |pq| = |p| \cdot |q| .

ייצוג מטריציוני וקטורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

דרך אחרת לייצג קווטרניונים היא בייצוג מטריציוני:

\begin{pmatrix} \;\;\alpha & \beta \\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \;\;a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} \;\;1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} \;\;i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} \;\;0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} +d\begin{pmatrix} \;\;0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} . במקרה זה, החיבור והכפל של שני קווטרניונים נעשים לפי הכללים של חיבור וכפל מטריצות.

דרך נוספת להבין קווטרניונים היא להציג אותם כזוג סדור של סקלר ווקטור תלת-ממדי:  \left( \alpha , \vec u \right) . במקרה זה, פעולות החיבור והכפל הן:

 \left( \alpha , \vec u \right) + \left( \beta , \vec v \right) = \left( \alpha + \beta , \vec u + \vec v \right) ;
 \left( \alpha , \vec u \right) \left( \beta , \vec v \right) = \left( \alpha\beta - \vec u \cdot \vec v , \alpha \vec v + \beta \vec u + \vec u \times \vec v \right) - כפל גרסמן. מכאן רואים את הסיבה לאי-חילופיות הכפל בקווטרניונים - אי-חילופיות המכפלה הווקטורית. כמו כן מנוסחה זו נובעות הזהויות הבאות:  (a,0) (b,0) = (ab,0) ; (a,0)(0, \vec v) = (0, a\vec v) והזהות  \left( 0, \vec u \right) \left( 0, \vec v \right) = \left( -\vec u \cdot \vec v, \vec u \times \vec v \right) , שממנה נגזרו מאוחר יותר הגדרות המכפלה הסקלרית והמכפלה הווקטורית.

קווטרניונים שלמים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסף הקווטרניונים מהצורה \ a+bi+cj+dk עבור \ a,b,c,d \in \mathbb{Z} נקרא מסדר ליפשיץ, ואילו האוסף הכולל את אלו יחד עם הקווטרניונים שבהם \ a,b,c,d \in \frac{1}{2} + \mathbb{Z} נקרא מסדר הורוויץ. מסדר הורוויץ מהווה מסדר מקסימלי יחיד (עד כדי הצמדה) באלגברת הקווטרניונים הרציונליים \ \mathbb{Q}[i,j], ואפשר להיעזר בתכונות שלו כדי לקבל הוכחה קלה למשפט ארבעת הריבועים של לגרנז'. האחרון הוא אוקלידי (מימין ומשמאל) ביחס לפונקציית הנורמה. מסדר ליפשיץ הוא "כמעט אוקלידי": לכל x,y אפשר לחלק עם שארית x=qy+r כאשר |r|<=|y|.

אינווריאנטים מקומיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אלגברת הקווטרניונים של המילטון מתפצלת בכל השלמה של המספרים הרציונליים, פרט ל- \ \mathbb{Q}_2 ו- \ \mathbb{R}.