שיחה:משפט האינטגרל של קושי

"אזי $\oint _{\partial U}f(z)\,dz=0$, כאשר הכוונה היא כי האינטגרל על שפת התחום הינו סכום סופי של אינטגרלים על מסילות סגורות שאיחוד תמונותיהן מהווה את השפה."

המשפט הזה די לא ברור. למרות שאני מברך על הרחבה של הערך על ידי כאלו שמבינים יותר ממני, חבל לי שכעת קשה להבין מהערך מה בעצם רוצה המשפט ואיך הוא "נראה". לדעתי יש שני דברים חשובים שצריכים להיות ברורים מקריאת הערך, וזה שהאינטגרל זהה עבור כל שתי מסילות שמקיפות את אותם חורים, ושאינטגרל על מסילה שמקיפה כמה חורים שווה לסכום האינטגרלים על מסלולים שכל אחד מהם מקיף חור אחד. כהדיוט, אני מתקשה להבין את זה מהטקסט בערך כמו שהוא עכשיו. (אגב, מה זה מדב"א מג"ל?) גדי אלכסנדרוביץ' 17:20, 9 ינו' 2005 (UTC)

אני מסכים איתך לגבי בהירות המשפט. עם זאת, במקרה הזה הייתי רק שליח לתיקון. גם לי הייתה בעייה מסויימת עם הניסוח. אבקש ממי שכתב את זה, לשנות זאת קצת שיהיה יותר מובן. בלי שום קשר, אני חושב שעניין החורים מקומו בנפרד ובטח שלא בפיסקאות הראשונות. אמיתי 13:12, 10 ינו' 2005 (UTC)

אני לא רואה ממש מה הבעיה עם זה. מילא, אם הערך היה מלא ועמוס בפסקאות הראשונות, אבל הוא די קצר בינתיים. כמו כן, בלי התכונה הזה המשפט מאבד חלק מחשיבותו. למשל, הוכחת נוסחת אינטגרל קושי מתבססת על הרחבה (מיידית) זאת. גדי אלכסנדרוביץ' 15:31, 10 ינו' 2005 (UTC)

זה פשוט לא המשפט, אלא המסקנה החשובה ביותר שלו וגם אז, עניין "החורים" הוא לא ממש מדוייק. אמיתי 15:42, 10 ינו' 2005 (UTC)

דיברתי עם הבחור שהכתיב לי את זה והוא הסביר את כוונתו. אני אעשה מאמצים להעלות משהו יותר ברור (או לשכנע אותו לשנות את זה בעצמו). בכל מקרה, אני לא חוזר בי מעניין המשפט המתמטי המדוייק. אנחנו צריכים להכיל פה משפטים מתמטיים מדוייקים. עניין החורים "הפיסיקלי" (אם לנקוט בלשון חריפה) מקומו בערך זה הוא כסעיף נפרד של "צורות שימושיות, או גירסאות חלשות יותר". כמו-כן, אני אנסה לכתוב רשימה של מסקנות חשובות של המשפט ולצרפן לערך. אמיתי 16:44, 12 ינו' 2005 (UTC)

אני דווקא לא רואה רע בכתיבה של הסברים אינטואיטיביים לצד ההסברים המדוייקים. לרוב זה רק מסייע להבנה. מה גם שעניין החורים הוא לא גרסה חלשה יותר, אלא בדיוק ההפך - הכללה של המשפט, ושאין בעיה גדולה מדי לפרמל אותו ("תחום רב קשרי" הוא מושג די מדוייק, אם אני לא טועה). להתווכח על השאלה האם המשפט על החורים הוא "הכללה" של המשפט או "תוצאה" שלו זה די מיותר, לדעתי. ברור שמקומו בערך הזה, וזה מספיק. גדי אלכסנדרוביץ' 17:51, 12 ינו' 2005 (UTC)

שני התיקונים שהוספתי היום (תיקון ביטול ותיקון) היו בעקבות שגיאת LATEX שהיתה בדף. כפי שציינתי, אלו שינויים משניים אך כעת ההוכחה תקינה. ניב שריג 03:45 27 אפר' 2012

ביאורים

― הועבר מהדף ויקיפדיה:הכה את המומחה/שאלות במדעים מדויקים
כמה שאלות לגבי הערך הזה: מה זה מסלול "הומולוגי לאפס"? דבר נוסף, בעריכה השלישית של הערך שינו את התוכן של פסקת ההגדרה הפורמלית להגדרה שלא מצאתי בוויקיפדיות אחרות, וגם לא הצלחתי להבין מה הכוונה בתחום קושי. האם לא עדיף את ההגדרה שהיתה פה, שנראית פשוטה יותר? תודה מראש, Yishaybg - שיחה 21:54, 28 בינואר 2024 (IST)

השאלה שייכת לשיחה:משפט האינטגרל של קושי. בכל מקרה, הוספתי ביאורים למונחים הקצת מעורפלים ששאלת עליהם. אגב, אני לא ממליץ לנסות לחפש "תחום קושי" בגוגל (מנוע חיפוש) כי רוב התוצאות שתקבל עוסקות בפסיכולוגיה חינוכית ולא במתמטיקה. – ד"ר MathKnight ✡ (שיחה) 22:26, 28 בינואר 2024 (IST)

תודה. למה ההגדרה בערך מצמצמת את המשפט דווקא לשפת התחום ולא באופן כללי למסילה סגורה בתחום קושי U? למה לומר מסילה הומולוגית לאפס (או הומוטופית לנקודה) ולא לומר מסילה פשוטה? אגב, אין לי בעיה להעביר לדף השיחה. Yishaybg - שיחה 23:23, 28 בינואר 2024 (IST)

מסילה פשוטה ומסילה הומולוגית ל-0 זה לא אותו דבר. מסילה הומולוגית ל-0 זה בגדול מסילה שאפשר לכווץ באופן רציף לנקודה. לדוגמה: המסילה $z=re^{i4\pi t},t\in [0,1]$ היא לא פשיטה (היא חוזרת על עצמה) אך כן ניתן לכווץ ל-0 באופן רציף באמצעות ההומוטופיה $r\to 0$. – ד"ר MathKnight ✡ (שיחה) 23:29, 28 בינואר 2024 (IST)

― סוף העברה
Yishaybg - שיחה 08:52, 29 בינואר 2024 (IST)

תודה, אבל עדיין נראה שיש איזו אי בהירות בערך. זה נראה שבערכים בשפות האחרות מדברים על משפט קצת שונה ממה שמובא בערך. לפי מה שהבנתי יש פה ארבעה משפטים, כשהאחרון הוא המוכלל ביותר:

משפט קושי

יהא $\ U\subset \mathbb {C}$ תחום פשוט קשר (ופתוח) במישור המרוכב, ותהא $\ f(z):U\rightarrow \mathbb {C}$ פונקציה הולומורפית בתחום זה, וכן $f'(z)$ רציפה בו. יהא $\ \gamma$ מסלול סגור ופשוט, אז מתקיים $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$.

משפט קושי־גורסה

יהא $\ U\subset \mathbb {C}$ תחום פשוט קשר (ופתוח) במישור המרוכב, ותהא $\ f(z):U\rightarrow \mathbb {C}$ פונקציה הולומורפית בתחום זה. יהא $\ \gamma$ מסלול סגור ופשוט, אז מתקיים $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$.

יהא $\ U\subset \mathbb {C}$ תחום פשוט קשר (ופתוח) במישור המרוכב, ותהא $\ f(z):U\rightarrow \mathbb {C}$ פונקציה הולומורפית בתחום זה. יהא $\ \gamma$ מסלול סגור והומולוגי לאפס, אז מתקיים $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$.

יהא $\ U\subset \mathbb {C}$ תחום פשוט קשר (ופתוח) במישור המרוכב, ותהא $\ f(z):U\rightarrow \mathbb {C}$ פונקציה הולומורפית בתחום זה. יהא $\ \gamma$ מסלול סגור, אז מתקיים $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$.

על איזה משפט בדיוק מדבר הערך? אם לא הבנתי כמו שצריך, אשמח שיתקנו אותי. מתייג את יונה בנדלאק, דניאל ב., hagay1000, פשוט, עוזי ו. (בנושאים מסוימים), דביר, איתי (לא בכל מה שקשור למתמטיקה), יואל, ruleroll (גאומטריה), רמי, Tshuva, בר, yotamsvoray, CodeGuru, Zardav, דוד שי, אכן, TergeoSoftware, MathKnight, מקף, E L Yekutiel, שגיא בוכבינדר שדור YoavDvir בעלי הידע במתמטיקה. Yishaybg - שיחה 09:21, 29 בינואר 2024 (IST)

לגבי ארבעת המשפטים:

מההולומורפיות של f נובעת רציפות הנגזרת שלה, ולכן הגרסה הראשונה והשנייה נשמעות לי שקולות.

לגבי התנאים על המסילה (ההבדלים בין גרסאות 2,3,4 של המשפט), ההגדרה של מרחב פשוט קשר הוא כזה שבו כל מסילה סגורה היא הומולוגית לאפס, ולכן להבנתי כל הגרסאות של המשפט שקולות (ואפשר להסיר בערך את האזכורים לתנאי של ההומולוגיות לאפס).

כמובן שאולי הבנתי משהו לא נכון, או שהנחתי משהו שלא אמורים להניח במשפט. התייחסתי לגרסאות של המשפט כפי שמופיעות לעיל. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 11:06, 29 בינואר 2024 (IST)

הבנתי לגבי השקילות של 3 ו־4, אבל למה 2 שקולה ל־3? אמנם כל מסלול פשוט הוא הומולוגי לאפס אבל ההפך לא בהכרח נכון. לגבי השקילות של 1 ו־2, עד שגורסה הוכיח את גרסה 2, היה ידוע שאם $f(z)$ הולומורפית אז $f'(z)$ קיימת (על פי ההגדרה) אבל לא היה ידוע אם $f'(z)$ רציפה. לאחר ההוכחה שלו ניתן להסיק מהמשפט שכל פונקציה הולומורפית היא אנליטית מרוכבת. Yishaybg - שיחה 21:09, 29 בינואר 2024 (IST)

סליחה, קראתי לא נכון את השאלה שלך ולא עניתי לעניין (חוץ מהשקילות בין 3 ו-4 כמו שאמרת).

מעיון נוסף בערך, אני לא רואה איפה משתמשים במשפט הזה בכך שהנגזרת רציפה (כן משתמשים בכך שהיא קיימת, מייד אחרי שמזכירים בהוכחה את הנחת ההולומורפיות), ולכן אני לא חושב שהמשפט בו דנים בערך הוא גרסה 1.

אני גם לא רואה איפה מניחים שהמסילה פשוטה (כן מניחים שהיא הומולוגית לאפס, אחרת יכול להיות ש-z0 הוא חור שאינו בתחום), אבל יש חלק חסר בהוכחה (החלק של ההוכחה בערך שלנו הוא לגבי המשולשים, שהם עצמם מסילות פשוטות, ונטען שממנו ניתן להוכיח לכל מסילה - אבל לא ברור אם בשלב הנוסף הזה מניחים שהמסילה הכללית יותר פשוטה גם היא. זה לא מצוין בערך אבל זה לא אומר שזה לא נדרש, אני לא יודע). לכן עדיין לא ברור לי אם אצלנו מדובר בגרסה 2 או 3.

4 כאמור שקולה ל-3 כי מדובר בתחום פשוט קשר, ולכן עדיין לדעתי אפשר להשמיט את ההנחה הנוספת המפורשת של ההומולוגיות לאפס (ורק להזכיר אותה, כשצריך, כנובעת מההנחה של תחום פשוט קשר).

סליחה על הבילבול ותודה על הדיוק. אשמח כמובן אם יתקנו אותי שוב, אם יש טעות במה שכתבתי - וגם אם לא טעיתי, עדיין לא הוכרע אם יש הנחה שהמסילה פשוטה או לא. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 22:44, 29 בינואר 2024 (IST)

באמת לא משתמשים בזה שהנגזרת רציפה בהוכחה של גרסה 2 (ההרחבה של גורסה), אבל אם כן מניחים את זה, כמו שקושי עשה, אז ההוכחה נהיית פשוטה הרבה יותר (אפשר לראות אותה בוויקיפדיה באנגלית).

יכול להיות ש-z0 הוא חור שאינו בתחום אם התחום פשוט קשר והמסלול נמצא בתוכו? Yishaybg - שיחה 00:02, 30 בינואר 2024 (IST)

הניסוח הכללי הוא לגבי מסילות הומולוגיות לאפס ואין צורך להניח שהן פשוטות. בתחום פשוט קשר, כל מסילה הומולוגית לאפס (כמו בניסוח 4 שלך). בנוסף, לתחום שהשפה שלו היא איחוד של מספר סופי של עקומים, האיחוד הזה (ליתר דיוק, הסכום הפורמלי של העקומים) גם הוא הומולוגי לאפס, כמו שכתוב בערך. 2A02:14F:1F2:29B9:D0B9:9A53:B18D:4850‏ 08:13, 31 בינואר 2024 (IST)