בדיקת שינויים ספציפיים

'ב[[תורת החבורות]], למושג '''סדר''' יש שתי משמעויות שונות, אך קשורות. ==סדר של חבורה== הסדר של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] הוא ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] שלה, <math>|G|</math>, כלומר מספר האיברים אם החבורה סופית. [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']], שהוא בין המשפטים הבסיסיים בתורת החבורות, קובע שהסדר של חבורה סופית [[חילוק|מתחלק]] בסדר של כל [[תת חבורה|תת-חבורה]] שלה. מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את [[משפט קושי (תורת החבורות)|משפט קושי]] על קיומם של איברים בעלי סדר ראשוני, ואת [[משפטי סילו]] על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני. ==סדר של איבר בחבורה== בהינתן חבורה <math>G</math> ואיבר כלשהו <math>g\isin G</math>, הסדר של <math>g</math> שמסומן <math>o(g)</math> הוא המעריך הטבעי הקטן ביותר <math>\,\!n</math> [[חזקה (מתמטיקה)|שבחזקתו]] איבר <math>g</math> שווה לאיבר היחידה של החבורה, כלומר: <math>g^n=e</math>. אם לא קיים מספר שכזה, נאמר שהסדר של <math>g</math> הוא אינסופי, ונסמן <math>o(g)=\infty</math>. הסדר של איבר בחבורה הוא הסדר של ה[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית]] הנוצרת על ידי האיבר, ומכאן הקשר בין סדר של איבר לסדר של חבורה. מסקנה מיידית ממשפט לגראנז' היא שהסדר של איבר בחבורה <math>G</math> מחלק את הסדר של . זאת מכיוון שהחבורה הציקלית שנוצרת על ידי האיבר היא תת-חבורה של <math>G</math> שסדרה כסדר האיבר. לכן לפי משפט לגראנז' סדר זה מחלק את הסדר של G.etrytrsssssssssssssssssssssssssh מכאן נובעת מסקנה מיידית חשובה נוספת: בהינתן חבורה סופית <math>G</math>, כל איבר בחבורה בחזקת סדר החבורה שווה לאיבר היחידה. נראה זאת: יהא <math>g\isin G</math> כלשהו, אז קיים <math>k</math> שלם כך ש-<math>k\cdot o(g) = |G|</math> (כי הסדר של <math>g</math> מחלק את הסדר של <math>G</math>). על כן: <math>g^{|G|}=g^{k\cdot o(g)}=\left(g^{o(g)}\right)^k=e^k=e</math>. עוד מסקנה מיידית היא שחבורה מסדר שהוא [[מספר ראשוני]] היא בהכרח [[חבורה ציקלית|ציקלית]], וכל איבר פרט ליחידה הוא יוצר שלה (שכן הסדר של כל איבר פרט לאיבר היחידה שווה לסדר החבורה). ==דוגמה== ל[[החבורה הסימטרית|חבורה הסימטרית]] <math>S_3</math> יש את לוח הכפל הבא: <DIV dir=ltr align=right> :{| cellspacing="0" cellpadding="8" border="1" |- ! • ! ''e'' || ''s'' || ''t'' || ''u'' || ''v'' || ''w'' |- ! ''e'' | <span style="color:#009246">''e''</span> || ''s'' || ''t'' || ''u'' || ''v'' || ''w'' |- ! ''s'' | ''s'' || <span style="color:#009246">''e''</span> || ''v'' || ''w'' || ''t'' || ''u'' |- ! ''t'' | ''t'' || ''u'' || <span style="color:#009246">''e''</span> || ''s'' || ''w'' || ''v'' |- ! ''u'' | ''u'' || ''t'' || ''w'' || <span style="color:#009246">''v''</span> || ''e'' || ''s'' |- ! ''v'' | ''v'' || ''w'' || ''s'' || ''e'' || <span style="color:#009246">''u''</span> || ''t'' |- ! ''w'' | ''w'' || ''v'' || ''u'' || ''t'' || ''s'' || <span style="color:#009246">''e''</span> |} </DIV> בחבורה זו יש שישה איברים, כלומר הסדר של החבורה, <math>|S_3|</math>, הוא 6.{{ש}} לפי הגדרה, הסדר, <math>o(e)</math>, של איבר היחידה, <math>e</math>, הוא 1. הסדר של כל אחד מהאיברים <math>s,t,w</math> הוא 2 (מכפלת כל אחד מאיברים אלה בעצמו היא איבר היחידה), והסדר של כל אחד מהאיברים <math>u,v</math> הוא 3. ==קישורים חיצוניים== * {{MathWorld}} [[קטגוריה:תורת החבורות]]'