נוסחת ציאולקובסקי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

נוסחת ציאולקובסקי היא משוואה שפותחה על ידי קונסטנטין ציאולקובסקי, ופורסמה בשנת 1903. הנוסחה מבטאת את מהירותו הסופית של טיל כפונקציה של גורמים שונים. הנוסחה המלאה נראית כך:

\Delta v\ = v_\text{e} \ln \frac {m_0} {m}

כאשר \ v_e היא מהירות הגזים הנפלטים מהטיל, \ m_0 פירושו המסה ההתחלתית של הטיל, ו-\ m פירושו המסה הסופית שלו. הנוסחה ונגזרותיה מאפשרים לחשב מהי כמות הדלק הנדרשת לטיל על מנת להשיג מהירות מסוימת - ובעצם מאפשרת לדעת מה נדרש לטיל על מנת לעבור בין גרמי שמים בלי השפעת כוח המשיכה.

פיתוח ניוטוני[עריכת קוד מקור | עריכה]

נגדיר את -k כקצב שינוי המסה לפי הזמן כעת התנע של הטיל בזמן t מסוים היא:

p(t)=m(t)\cdot v(t)+\mathrm{const}.

כאשר \mathrm{const} היא התנע של הדלק שנפלט קודם התנע בזמן דיפרנציאלי אחר כך היא:

p(t+dt)=[m(t)+dm]\cdot[v(t)+dv]-dm\cdot[v(t)-v_e]+\mathrm{const}

כאשר dv זה דיפרנציאל מהירות שנוסף למהירות הטיל

ו--dm זה דיפרנציאל מסה שנזרק מהטיל

(-dm\cdot[v(t)-v_e] זה התנע של המסה שנזרקה מהטיל)

נחסר כדי לקבל דיפרנציאל תנע:

p(t+dt)-p(t)=dp=[m(t)+dm]\cdot [v(t)+dv]-dm\cdot [v(t)-v_e]+\mathrm{const}-[m(t)\cdot v(t)+\mathrm{const}]

(אנו מזניחים dv\cdot dm)

ומקבלים:

dp=m(t)\cdot dv+(v_e)\cdot dm

"נחלק ב-dt"

{dp \over dt}=m(t)\cdot ({dv \over dt})-k\cdot v_e

כאשר a={dv \over dt} היא התאוצה כלומר קצב שינוי המהירות לפי הזמן ו--k זה קצב שינוי המסה לפי הזמן

וידוע לפי חוקי ניוטון ש-

{dp \over dt}= F

ואין כוח משיכה ולכן סכום הכוחות החיצוניים שווה=0

כעת "נסדר" את המשוואה ונציב m(t)=m_0-k\cdot t

ונקבל: {dt\cdot v_e\cdot k \over m_0-k\cdot t}=dv

אינטגרל מסוים מ-t=0 עד t_f כלומר שכל הדלק התרוקן

\int_{0}^{t_f}  {dt\cdot v_e\cdot k \over m_0-k\cdot t}=\int_{0}^{\Delta v}dv

ומקבלים:

\Delta v= v_e\cdot [\ln(m_0)-ln(m)]=v_0\cdot \ln (\frac {m_0} {m})

רקע היסטורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואות ההנעה הרקטית פורסמו על ידי ציולקובסקי בשנת 1903, ובמשך שנים נחשב ציולקובסקי לראשון שהגה אותן. עם זאת, מחקר מהעת האחרונה גילה חישובים דומים שנערכו בבריטניה בשנת 1813, לשם בחינת היעילות של רקטות קרקע קרקע ששימשו למטרות לחימה. משוואות אלה הופיעו בחיבור מאת ויליאם מור, שנקרא A Treatise on the Motion of Rockets .

שימוש בנוסחה לטילים בעלי שלבים אחדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ציולקובסקי הניח בעבודתו את הייסוד לבניית טילים בעלי מספר שלבים. בטילים כאלה, נושר שלב לאחר גמר הדלק שהיה בו, והטיל יכול להמשיך ולהאיץ, עד להשגת המהירות הנדרשת לשם הגעה לחלל או ליציאה משדה הכבידה של גרמי שמיים שונים.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]