הצגת המקור של הדף "פונקציית חלוקה (פיזיקה)"

'''פונקציית החלוקה''' (מסומנת בדרך כלל <math>Z</math>)
היא מושג ב[[פיזיקה]], ובייחוד ב[[תרמודינמיקה]] ו[[מכניקה סטטיסטית]]. מקור [[פונקציה]] זו היא בגורם נרמול של [[התפלגות|התפלגויות]] סטטיסטיות של מצבי [[מערכת פיזיקלית]]. פונקציה זו מכילה מידע סטטיסטי רב על המערכת הפיזיקלית ובעזרתה ניתן לחשב גדלים תרמודינמיים רבים. הפונקציה תלויה ב[[טמפרטורה]] ובמאפיינים שונים של המערכת הפיזיקלית. הפונקציה מסומנת באות Z, שהיא האות הראשונה של שמה ה[[גרמנית|גרמני]] Zustandssumme (מילולית - סכום על מצבים).

== פונקציית החלוקה הקנונית ==
=== הגדרה ===
פונקציית החלוקה עבור [[צבר קנוני|מערכת קנונית]] (מערכת עם מספר חלקיקים, טמפרטורה ו[[נפח]] קבועים) מוגדרת על ידי:
: <math>Z = \sum_i \exp\left(-\frac{E_i}{k_BT}\right)</math>

כאשר הסכום הוא על כל המצבים האפשריים של המערכת. 
<math> E_i</math> היא ה[[אנרגיה]] במצב ה-T, i היא הטמפרטורה ו-<math>\ k_B </math> הוא [[קבוע בולצמן]].

פונקציה זו משמשת גורם נרמול עבור [[התפלגות בולצמן]], לפיה הסיכוי שמערכת תמצא במצב בעל אנרגיה <math> E_i</math> פרופורציוני ל- 
<math> \exp\left(-E_i/k_BT\right)</math>, או בכתיב מתמטי:
:<math> P(E_i) = \frac{1}{Z}\exp(-\frac{E_i}{k_BT})</math>
כאשר Z (פונקציית החלוקה) היא מקדם פרופורציה. על מנת שההתפלגות תהיה מנורמלת, סכום ההסתברויות עבור כל המצבים צריך להיות שווה ל-1, ולכן :
: <math>P(E) =\sum_i \frac{1}{Z}\exp(-\frac{E_i}{k_BT})=1</math>

עבור מערכת קוונטית, ניתן לכתוב את פונקציית החלוקה גם כ
<math>Z=\operatorname{tr} ( e^{- H/k_BT} )</math>
כאשר H הוא [[אופרטור]] ה[[המילטוניאן]] ו- <math>\operatorname{tr} </math> היא [[עקבה (אלגברה)|העקבה]].

עבור מערכת קלאסית בעלת רצף של אנרגיות, פונקציית החלוקה נתונה על ידי:
: <math>Z=\frac{1}{N!h^{3N}} \int \, \exp[-\beta H(p_1 \cdots p_N, x_1
\cdots x_N)] \; \mathrm{d}^3p_1 \cdots \mathrm{d}^3p_N \, \mathrm{d}^3x_1 \cdots \mathrm{d}^3x_N </math>
כאשר האינטגרציה מתבצעת על ה[[קואורדינטה|קואורדינטות]] וה[[תנע]]ים של כל N החלקיקים ו- h הוא [[קבוע פלאנק]]

=== פונקציית חלוקה חד חלקיקית ===
פונקציית חלוקה של מערכת הכוללת חלקיק יחיד, מכונה פונקציית חלוקה חד חלקיקית ומסומנת לרוב באות <math> \ \zeta </math>.
אם המערכת מורכבת מ-N חלקיקים זהים ללא אינטראקציה ביניהם, פונקציית החלוקה של כלל המערכת קשורה לפונקציית החלוקה החד חלקיקית באופן הבא:
:<math> Z= \frac{1}{N!} \zeta^N</math>
הגורם <math> \frac{1}{N!} </math> נדרש במידה ומדובר בחלקיקים (קלאסיים) זהים שאינם ברי הבחנה ([[פרדוקס גיבס]]). במידה והחלקיקים ברי הבחנה <math>\ Z= \zeta^N</math>.

=== דוגמאות ===
1. פונקציית החלוקה של [[גז אידיאלי]] של חלקיקים קלאסיים ללא [[דרגות חופש (מכניקה)|דרגות חופש]] פנימיות:
:<math>Z = \frac{1}{N!} \left[\frac {V}{h^3}(2\pi m k_B T)^{3/2} \right]^N</math>
כאשר:
* N מספר החלקיקים
* m [[מסה|מסת החלקיקים]]
* h [[קבוע פלאנק]]
* V נפח המערכת

2. פונקציית החלוקה של [[ספין (פיזיקה)|ספין]] 1/2 ב[[שדה מגנטי]] H (בהנחה שהספין קבוע למקום):
:<math>\zeta = 2 \cosh\left(\frac{\mu_B g H}{2k_BT}\right)</math>
כאשר:
* g הוא [[מקדם לנדה]]
* <math>\ \mu_B </math> הוא [[מגנטון בוהר]]

3. פונקציית חלוקה של [[אוסצילטור הרמוני קוונטי]] בעל תדירות <math> \omega </math>:
:<math>\zeta = \frac{1}{\sinh(\frac{\hbar\omega}{2k_BT})}</math>

=== שימושים ===
מפונקציית החלוקה ניתן לקבל את ה[[אנרגיה חופשית של הלמהולץ|אנרגיה החופשית]], שהיא ה[[פוטנציאלים תרמודינמיים|פוטנציאל התרמודינמי]] הקובע את התנהגות המערכת:
:<math>\ F=-k_BT \ln Z </math>
כעת, על ידי [[נגזרת|גזירת]] האנרגיה החופשית (או לחלופין פונקציית החלוקה), ניתן לקבל את כל הגדלים התרמודינמיים המאפיינים את המערכת. לדוגמה:
* [[אנרגיה פנימית|האנרגיה הפנימית]]:  <math>\ U= -T^2 \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{F}{T}\right)</math>
* [[קיבול חום|קיבול החום]]: <math>\ c_V= -T \frac{\partial^2 F}{\partial T^2}</math>
* ה[[לחץ]]: <math>\ P = - \frac{\partial F}{\partial V} </math>
* ה[[מגנטיזציה]] <math>\ M = -\frac{\partial F}{\partial H} </math>

ניתן גם לחשב את הפלוקטואציות בגדלים הנ"ל. לדוגמה :
:<math>\langle (\delta E)^2 \rangle \equiv \langle (E - \langle
E\rangle)^2 \rangle = \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial \beta^2}</math>
כאשר : <math>\beta \equiv \frac{1}{k_BT}</math>

== פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית ==
=== הגדרה ===
פונקציית החלוקה עבור [[צבר גרנדקנוני|מערכת גרנדקנונית]] (מערכת עם טמפרטורה ו[[נפח]] קבועים, אך מספר החלקיקים המערכת משתנה), מסומנת לרוב על ידי אות Z מסולסלת ומוגדרת על ידי:
: <math>\mathcal{Z} = \sum_i \exp\left(-\frac{E_i-\mu n_i}{k_BT}\right)</math>
כאשר <math> \ \mu </math> הוא ה[[פוטנציאל כימי|פוטנציאל הכימי]] של המערכת, <math> \ n_i </math> הוא מספר החלקיקים במערכת במצב ה-i.
כמו קודם, הסכימה היא על כל מצבי המערכת האפשריים, <math> E_i</math> היא ה[[אנרגיה]] במצב ה-T, i היא הטמפרטורה ו-<math>\ k_B </math> הוא [[קבוע בולצמן]].

קיים הקשר הבא בין פונקציות החלוקה הגרנדקנונית והקנונית:
<math> \mathcal{Z} = \sum_N exp\left(\frac{\mu N}{k_BT}\right) Z_{can}(N) </math>
כאשר <math> Z_{can}(N) </math> היא פונקציית חלוקה קנונית עם N חלקיקים.

===דוגמה===
פונקציית החלוקה של [[גז אידיאלי]] של חלקיקים קלאסיים ללא דרגות חופש פנימיות:
:<math> \exp \left[ e^\frac{\mu}{k_BT} V \left( \frac{2\pi m k_BT}{h^2}\right)^{3/2}\right] </math>

=== שימושים ===
מפונקציית החלוקה הגראנד קנונית. ניתן לקבל את [[פוטנציאל גראנד קנוני|הפוטנציאל הגראנד קנוני]] <math> \Omega = -k_B T \ln \mathcal{Z}</math> ומנגזרות הפוטנציאל הגראנד קנוני את כל הגדלים התרמודינמיים הרלוונטיים למערכת.

{{נושאים במכניקה סטטיסטית}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:תרמודינמיקה]]
[[קטגוריה:פיזיקה סטטיסטית]]