שיווי משקל וודרופ

שיווי משקל וודרופ (Wardrop) הוא כינוי לשני עקרונות, 'עקרון וודרופ הראשון' ו'עקרון וודרופ השני', העוסקים באופן כללי בשיווי משקל וזרימה אופטימלית ברשתות תנועה. העקרונות פותחו על ידי ג'ון גלן וודרופ, מנתח תנועה אנגלי, וקרובים במידה כלשהי לרעיון שיווי המשקל של נאש מתורת המשחקים. מכל מקום, בעוד 'שיווי המשקל של נאש' משמש לניתוח מערכת עם מספר קטן של שחקנים, זה של וודרופ מאפשר אנליזה מורכבת יותר, של רשתות תנועה רבות משתתפים.

את העקרונות חשף וודרופ ב-1952. העקרונות מגדירים מצבי שיווי-משקל ברשתות תנועה (מושג שהוצע לראשונה ב-1924, על ידי פרנק נייט) ומציגים שתי הנחות התנהגות אלטרנטיביות למזעור העלות הכוללת של התנועה ברשת.

העיקרון הראשון של וודרופ עוסק בבחירת נתיב תנועה. עיקרון זה זהה להגדרה של נייט מתורת המשחקים והתקבל כעקרון התנהגותי ברור ופשוט, המתאר את פיזור נתיבי הנסיעה על פני נתיבים חלופיים כתוצר של צפיפות. העיקרון קובע כי זמן הנסיעה בכל אחד מן המסלולים הנמצאים בשימוש יהא שווה או קטן מן הזמן שיידרש לרכב יחיד לנסוע בכל מסלול שאינו נמצא בשימוש. עיקרון זה מסתמך על ההנחה שכל משתמש, באופן עצמאי (לא-שיתופי), מבקש למזער את עלות הנסיעה שלו. זרימות תנועה שמאפשרות איזון אופטימלי מסוג זה מכונות בדרך כלל זרימות "שיווי משקל משתמש", שכן הן תוצאה של מצב בו כל משתמש בוחר את הדרך הטובה ביותר עבורו. באופן ספציפי, "שיווי-משקל משתמש" אופטימלי מושג כאשר אין בנמצא משתמש אשר יכול להפחית את עלות הנסיעה שלו על ידי פעולה חד-צדדית.

העיקרון השני של וודרופ קובע כי בשיווי משקל מערכתי, זמן הנסיעה הממוצע הוא מינימלי. מכך משתמע כי בבחירת מסלול הנסיעה כל משתמש משתף פעולה עם יתר המשתמשים, כדי להבטיח כי השימוש הכולל במערכת יהא היעיל ביותר. זרימות התנועה המקיימות את העיקרון השני של וודרופ נחשבות בדרך-כלל ל"אופטימליות עבור המערכת". כלכלנים טוענים כי ניתן להשיג זרימה אופטימלית שכזו על ידי תמחור הכביש לפי עלות שולית.
המודל המתמטי עבור שיווי-משקל רשתי נוסח לראשונה על ידי בקמן, מקגווייר ווינסטן ב-1956.

הגדרה פורמלית

אומרים כי מצב 'y הוא שיווי משקל וודרופ כאשר כל האסטרטגיות הנבחרות מניבות עבור כל משתמש אותה עלות שולית, וכאשר העלות השולית המתקבלת עבור כל אסטרטגיה אחרת (שאינה בשימוש) היא נמוכה יותר.
יהי $S'\subseteq S$ קבוצת כל האסטרטגיות הנבחרות בחלוקת האסטרטגיות 'y, אזי
שיווי משקל וודרופ מאופיין על ידי היחס הבא:

$\ F_{i}(y')=F_{j}(y')\forall i,j\in S'$

$\ F_{i}(y')>=F_{j}(y')\forall i\in S'andj\in S$

לקריאה נוספת

• Wardrop, J. G.; Whitehead, J. I. (1952). "Correspondence. Some Theoretical Aspects of Road Traffic Research". ICE Proceedings: Engineering Divisions Volume 1, Issue 5, 1952