הצגת המקור של הדף "שיטת בורדה"

'''שיטת בורדה''' ('''borda's method''') היא [[פונקציית בחירה חברתית|שיטת בחירות]] שבה נבחר המועמד שסך מספר המועמדים המדורגים תחתיו מכל אחד מהבוחרים - הוא הגבוה ביותר.

== הגדרה ==
תהי <math>\begin{align}A = \{1,2,...,i,...,m\}\end{align}</math> [[קבוצה סופית]] של מועמדים (או אפשרויות) ו- <math>\begin{align}N = \{1,2,...,j,...,n\}\end{align}</math> קבוצה סופית של בוחרים.

נניח שכל בוחר מדרג את המועמדים מהמועדף יותר למועדף פחות, והוא אינו אדיש בין מועמדים (כלומר יש לו [[יחס (תורת הקבוצות)#תכונות של יחסים|יחס העדפות חזק]] על <math> \begin{align}
A\end{align}</math>).

מועמד  <math>\begin{align}i\end{align}</math>  מקבל  <math>\begin{align}k\end{align}</math>  נקודות מבוחר  <math>\begin{align}j\end{align}</math>, אם בוחר זה דירג  <math>\begin{align}k\end{align}</math>  מועמדים מתחת למועמד <math>\begin{align}i\end{align}</math>. נקודות אלו נקראות גם '''נקודות בורדה'''.
 
(במילים אחרות: מספר הנקודות שמועמד כלשהו מקבל מבוחר מסוים, שווה למספר המועמדים שאותו בוחר דירג אחריו)<br />

'''דירוג בורדה''' ('''borda count''') של מועמד הוא סך הנקודות שהוא צבר מכל הבוחרים.
המועמד הנבחר על פי שיטת בורדה (נקרא גם: '''מנצח בורדה''') הוא המועמד שדירוג בורדה שלו הוא הגבוה ביותר. <br /> <br />

== הגדרה נוספת ==

דירוג בורדה של מועמד ניתן להגדרה גם באופן הבא:

לכל זוג מועמדים <math>\begin{align}s\end{align}</math> ו-<math>\begin{align}t\end{align}</math>, נסמן ב- <math>\begin{align} N_{s,t}\end{align}</math> את מספר הבוחרים המדרגים את <math>\begin{align}s\end{align}</math> לפני <math>\begin{align}t\end{align}</math>.
'''דירוג בורדה של מועמד <math>\begin{align}s\end{align}</math>''' שווה ל- <math>\sum_{t \neq s} N_{s,t} </math>.

נראה שהגדרה זו שקולה להגדרה הקודמת:

יהי <math>\ a_{s,t,k} </math> שווה ל-1 אם בוחר <math>\begin{align}k\end{align}</math> מדרג את <math>\begin{align}s\end{align}</math> לפני <math>\begin{align}t\end{align}</math>, ושווה ל-0 אחרת.
ברור ש- <math>\ N_{s,t} = \sum_{k} a_{s,t,k} </math> ולכן <math>\sum_{t \neq s} N_{s,t} = \sum_{t \neq s} \sum_{k} a_{s,t,k}  </math>.

לפי ההגדרה הראשונה, דירוג בורדה של מועמד הוא סכום מספר המועמדים שדורגו תחתיו על ידי כל בוחר, כלומר <math>\sum_{k} \sum_{t \neq s} a_{s,t,k}  </math>. בהחלפת סדר הסכימה יתקבלו ביטויים זהים ולכן ההגדרות שקולות.

== היסטוריה ושימושים ==

שיטת בורדה הוצעה לראשונה במאה ה-13 על ידי המדען והפילוסוף [[רמון ליול]], אולם היא נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי בן המאה ה-18 [[ז'אן-שארל דה בורדה]] שהגה אותה בשנת 1770.

בבחירות לפרלמנט של [[נאורו]] ולבית המחוקקים הלאומי של [[סלובניה]] משתמשים בשיטת בורדה, וניתן לומר שגם המנצח בתחרות ה[[אירוויזיון]] נקבע על פי סוג של שיטת בורדה.

במונחים של [[תורת המשחקים]], שיטת בורדה היא סוג של [[פונקציית בחירה חברתית]], כלומר פונקציה המקבלת את יחסי ההעדפות של הבוחרים ומחזירה את המועמד הנבחר.

שיטת בורדה מקיימת את תכונת המונוטוניות חלשה והפה אחד.

השיטה אינה מקיימת את [[תבחין קונדורסה]] הדורש שכאשר יש מועמד <math> \begin{align}i\end{align}</math> שעבורו לכל מועמד אחר <math> \begin{align}j\end{align}</math> יש יותר בוחרים המעדיפים את <math> \begin{align}i\end{align}</math> על <math> \begin{align}j\end{align}</math> - אז <math> \begin{align}i\end{align}</math> ייבחר.

== דוגמה ==

תהי <math> \begin{align}N\end{align}</math> קבוצה של 21 בוחרים, ויהיו  <math> \begin{align}A\end{align}</math>,<math> \begin{align}B\end{align}</math> ו-<math> \begin{align}C\end{align}</math> שלושה מועמדים.
<br />

נניח שהבוחרים דירגו את המועמדים באופן הבא:
{| class="wikitable"
! מספר הבוחרים !! מקום ראשון !! מקום שני !! מקום שלישי 
|-
| 1 || <math> \begin{align}A\end{align}</math> || <math> \begin{align}B\end{align}</math> || <math> \begin{align}C\end{align}</math>
|- style="background-color: #EFEFEF;"
| 7 || <math> \begin{align}A\end{align}</math> || <math> \begin{align}C\end{align}</math> || <math> \begin{align}B\end{align}</math>
|-
| 7 || <math> \begin{align}B\end{align}</math> || <math> \begin{align}C\end{align}</math> || <math> \begin{align}A\end{align}</math>
|-
|6 || <math> \begin{align}C\end{align}</math> || <math> \begin{align}B\end{align}</math> || <math> \begin{align}A\end{align}</math>
|}

נחשב את דירוג בורדה של כל אחד מהמועמדים : <br />

עבור מועמד <math> \begin{align}A\end{align}</math>: יש שמונה בוחרים שמעניקים לו 2 נקודות ושלושה עשר בוחרים שמעניקים לו 0 נקודות. לכן, <math> \begin{align}A\end{align}</math> מקבל בסך הכל 16 נקודות בורדה.<br />

עבור מועמד <math> \begin{align}B\end{align}</math>: יש שבעה בוחרים שמעניקים לו 2 נקודות, שבעה בוחרים שמעניקים לו נקודה אחת ושבעה בוחרים שמעניקים לו 0 נקודות. לכן,  <math> \begin{align}B\end{align}</math> מקבל בסך הכל 21 נקודות בורדה.<br />

עבור מועמד <math> \begin{align}C\end{align}</math>: יש שישה בוחרים שמעניקים לו 2 נקודות, ארבעה עשר בוחרים שמעניקים לו נקודה אחת ובוחר אחד שמעניק לו 0 נקודות. לכן, <math> \begin{align}C\end{align}</math> מקבל בסך הכל 26 נקודות בורדה.<br />

כיוון שדירוג בורדה של מועמד <math> \begin{align}C \end{align}</math> גדול ממש מדירוג בורדה של שני המועמדים האחרים, <math> \begin{align}C\end{align}</math> הוא מנצח בורדה במקרה זה.

== לקריאה נוספת ==
*{{צ-ספר|מחבר=שמואל זמיר, [[מיכאל משלר]], [[אילון סולן]]|שם=תורת המשחקים|מו"ל=[[הוצאת מאגנס|מאגנס]]|שנת הוצאה=2008|מקום הוצאה=ירושלים|ISBN=9654932946}}

{{ניווט בחירות}}

[[קטגוריה:תורת המשחקים]]
[[קטגוריה:שיטות בחירות]]