אידאל פרימרי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה מופשטת, אידאל פרימרי (או אידאל קמאי) של חוג קומוטטיבי הנו אידאל, המקיים את התכונה הבאה: אם המכפלה ab שייכת לאידאל, אז או ש- a שייך לאידאל, או שחזקה כלשהי של b שייכת לאידאל. אידאל הוא ראשוני אם במקרה כזה אחד מבין a או b שייך לאידאל, ולכן כל אידאל ראשוני הוא פרימרי.

כל חזקה של אידאל מקסימלי היא פרימרית. בחוג דדקינד גם ההפך נכון: כל אידאל פרימרי שאינו אפס הוא חזקה של אידאל מקסימלי. לדוגמה, בחוג השלמים האידאלים הפרימריים הם האידאלים מהצורה \ p^t\mathbb{Z} עבור p ראשוני.

אידאל \ I של חוג קומוטטיבי \ A הוא פרימרי, אם בחוג המנה \ A/I כל מחלק אפס הוא נילפוטנטי.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה. זה נובע ישירות מההגדרה הבאה של ראשוניות - אם לכל \ ab \in \ I או \ a \in \ I או \ b \in \ I אז \ I ראשוני.

הוכחה. נניח \ ab \in \sqrt{Q}, לכן \ (ab)^n = a^nb^n  \in \ Q. מתוך הפרימריות של \ Q יוצא ש: או \ a^n \in \ Q או \ (b^n)^m=b^{nm} \in \ Q עבור \ m כלשהו. עכשיו, אם \ a^n \in \ Q אז \ a \in \sqrt{Q} ואם \ b^{mn} \in \ Q אז \ b \in \sqrt{Q}. לכן הרדיקל ראשוני כפי שרצינו.

משפט לסקר-נתר[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט לסקר-נתר קובע שבחוג קומוטטיבי נתרי, כל אידאל שווה לחיתוך של מספר סופי של אידאלים פרימריים. הצגה זו היא כלי בסיסי בגאומטריה אלגברית. בחוג השלמים, חיתוך זה מציג כל אידאל כחיתוך האידאלים הראשוניים המכילים אותו, ובכך הוא מכליל את משפט השאריות הסיני.

חוג קומוטטיבי שבו כל אידאל שווה לחיתוך מספר סופי של אידאלים פרימריים נקרא חוג לסקרי. כל חוג נתרי הוא כמובן לסקרי; ההיפך אינו נכון, אבל אם \ R[x] לסקרי אז R (ולכן גם \ R[x]) נתרי.

פרימריות חזקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אידאל Q הוא פרימרי בחזקה (strongly primary) אם קיים n כך שהרדיקל \ \sqrt{Q} מקיים \ \sqrt{Q}^n \subseteq Q. כל אידאל פרימרי נוצר סופית הוא פרימרי בחזקה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • The Concise Handbook of Algebra, Chapter C.1, R. Gilmer.