אידאל פרימרי

באלגברה מופשטת, אידאל פרימרי של חוג קומוטטיבי הנו אידאל, המקיים את התכונה הבאה: אם המכפלה ab שייכת לאידאל, אז או ש- a שייך לאידאל, או שחזקה כלשהי של b שייכת לאידאל. אידאל הוא ראשוני אם במקרה כזה אחד מבין a או b שייך לאידאל, ולכן כל אידאל ראשוני הוא פרימרי.

כל חזקה של אידאל מקסימלי היא פרימרית. בחוג דדקינד גם ההפך נכון: כל אידיאל פרימרי שאינו אפס הוא חזקה של אידיאל מקסימלי. לדוגמא, בחוג השלמים האידיאלים הפרימריים הם האידיאלים מהצורה $\ p^t\mathbb{Z}$ עבור p ראשוני.

אידאל $\ I$ של חוג קומוטטיבי $\ A$ הוא פרימרי, אם בחוג המנה $\ A/I$ כל מחלק אפס הוא נילפוטנטי.

תכונות

• כל אידאל ראשוני הוא אידאל פרימרי.

הוכחה. זה נובע ישירות מההגדרה הבאה של ראשוניות - אם לכל $\ ab \in \ I$ או $\ a \in \ I$ או $\ b \in \ I$ אז $\ I$ ראשוני.

• הרדיקל של אידאל פרימרי הנו ראשוני.

הוכחה. נניח $\ ab \in \sqrt{Q}$, לכן $\ (ab)^n = a^nb^n \in \ Q$. מתוך הפרימריות של $\ Q$ יוצא ש: או $\ a^n \in \ Q$ או $\ (b^n)^m=b^{nm} \in \ Q$ עבור $\ m$ כלשהו. עכשיו, אם $\ a^n \in \ Q$ אז $\ a \in \sqrt{Q}$ ואם $\ b^{mn} \in \ Q$ אז $\ b \in \sqrt{Q}$. לכן הרדיקל ראשוני כפי שרצינו.

משפט לסקר-נתר

משפט לסקר-נתר קובע שבחוג קומוטטיבי נתרי, כל אידיאל שווה לחיתוך של מספר סופי של אידיאלים פרימריים. הצגה זו היא כלי בסיסי בגאומטריה אלגברית. בחוג השלמים, חיתוך זה מציג כל אידיאל כחיתוך האידיאלים הראשוניים המכילים אותו, ובכך הוא מכליל את משפט השאריות הסיני.

חוג קומוטטיבי שבו כל אידיאל שווה לחיתוך מספר סופי של אידיאלים פרימריים נקרא חוג לסקרי. כל חוג נתרי הוא כמובן לסקרי; ההיפך אינו נכון, אבל אם $\ R[x]$ לסקרי אז R (ולכן גם $\ R[x]$) נתרי.

פרימריות חזקה

אידיאל Q הוא פרימרי בחזקה (strongly primary) אם קיים n כך שהרדיקל $\ \sqrt{Q}$ מקיים $\ \sqrt{Q}^n \subseteq Q$. כל אידיאל פרימרי נוצר סופית הוא פרימרי בחזקה.

ראו גם

• משפט לסקר-נתר

מקורות

• The Concise Handbook of Algebra, Chapter C.1, R. Gilmer.