חוג (מבנה אלגברי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, חוג הוא מבנה אלגברי בעל שתי פעולות בינאריות, המקיימות מספר אקסיומות (שיפורטו להלן), המכלילות כמה תכונות בסיסיות של חוג המספרים השלמים ושל חוג המטריצות מעל שדה.

תורת החוגים, העוסקת במבנה של חוגים שונים, היא מן התחומים המרכזיים באלגברה.

הגדרה ומבנים יסודיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוג הוא מבנה הכולל קבוצה \ R עם פעולות חיבור וכפל, המקיימות מספר תכונות:

  1. שתי הפעולות קיבוציות (אסוציאטיביות)
  2. פעולת החיבור חילופית (קומוטטיבית)
  3. קיים איבר יחידה ביחס לשתי הפעולות (ראה הסתייגות בסעיף הבא)
  4. קיים איבר נגדי לכל איבר ביחס לפעולת החיבור
  5. מתקיים חוק הפילוג (כלומר \ x\cdot (y+z) = x\cdot y+x\cdot z וכן (x+y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z)

אם פעולת הכפל גם היא חילופית, החוג נקרא "חוג חילופי". לדוגמה, חוג המספרים השלמים חילופי, אך חוג המטריצות אינו חילופי.

איבר יחידה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבנה אלגברי שבו מתקיימות כל האקסיומות, פרט לקיומו של איבר יחידה, נקרא "חוג בלי יחידה". לעתים, הטרמינולוגיה הפוכה, וחוג מציין מבנה המקיים את האקסיומות לעיל ללא איבר היחידה. באנגלית מקובל גם הסימון rng לציון חוג-בלי-יחידה (לעומת ring לציון חוג). ייתכן שבחוג-בלי-יחידה תהיה "יחידה-משמאל" (איבר e המקיים \ ex = x לכל x), ואף יחידות-משמאל רבות; או יחידה-מימין, ואף יחידות-מימין רבות; אבל אם יש גם יחידה-מימין וגם יחידה-משמאל, אז יש לחוג איבר יחידה אחד ויחיד.

הגדרה אקסיומטית ראשונה של חוג ניתנה בשנת 1914 על ידי אברהם הלוי פרנקל,‏[1] בהשפעת הגישה האקסיומטית של שטייניץ לשדות, האסכולה האמריקאית של א.ה. מור, ובעיקר עבודתו תחת קורט הנזל על שדה המספרים ה-p-אדיים[2]. האקסיומות של פרנקל תארו מה שמוכר היום כחוג עם יחידה, שבו כל איבר רגולרי הוא הפיך ("חוג קלאסי"), וכך שלכל שני אברים a,b יש איברים רגולריים u,v כך ש-ab=bau=vba. ב-1921 פרסמה אמי נתר מאמר פורץ דרך,‏[3] ובו נתנה את ההגדרה המקובלת כיום לחוג חילופי. אחד ההבדלים בין פרנקל לנתר הוא בשאלה האם נדרש איבר יחידה לכפל. פרנקל דרש זאת, ואילו נתר לא דרשה זאת. עד לשנות ה-60 הייתה מקובלת במרבית ספרי האלגברה גישתה של נתר, אך החל ממועד זה הלכו והתרבו הספרים, בפרט ספרים מתקדמים מאת מחברים נודעים כאמיל ארטין, מייקל עטייה ואיאן מקדונלד, ניקולא בורבקי וסרז' לאנג, שקיבלו את גישתו של פרנקל. עם זאת, עדיין נפוצים ספרים המתבססים על גישתה של נתר.

הומומורפיזמים ואידאלים[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה \ f : A \rightarrow B מחוג לחוג היא "הומומורפיזם של חוגים", אם היא שומרת על החיבור והכפל ועל איבר היחידה. הגרעין של הומומורפיזם הוא אידאל של החוג A, ו"משפט האיזומורפיזם הראשון" קושר את החוגים שהומומורפיזם מגדיר באופן טבעי: \ A / \operatorname{Ker}(f) \cong \operatorname{Im}(f).

תת חוגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת קבוצה של חוג \ S\subset R שהיא חוג בפני עצמה, ביחס לאותן פעולות וקבועים, נקראת "תת-חוג". למשל, חוג המספרים השלמים הוא תת-חוג של שדה המספרים הרציונליים (המהווה שדה שברים שלו). אפשר להגדיר גם תת-חוג-בלי-יחידה, שממנו אין דורשים להכיל איבר יחידה. לדוגמה, אוסף המספרים הזוגיים הוא תת-חוג-בלי-יחידה של חוג המספרים השלמים. לדוגמה, המרכז של חוג, הכולל על-פי ההגדרה את כל האיברים \ c\in R המקיימים \,c \cdot r = r\cdot c לכל \ r\in R, הוא תת-חוג קומוטטיבי של החוג (אם כי יכולים להיות לחוג תת-חוגים קומוטטיביים גדולים יותר).

בניות של חוגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

תורת החוגים עשירה בדרכים לבנות חוגים חדשים. בין הפשוטות והמוכרות ביותר:

מכפלה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המכפלה של שני חוגים R,S, היא מכפלה הקרטזית R \times S עם הפעולות על הרכיבים. משפט השאריות הסיני קובע כי המנה של חוג נתון מעל מכפלת אידאלים קו-מקסימליים שלו איזומורפית למכפלת המנות.

ביתר כלליות, ניתן להגדיר מכפלה של כל משפחת חוגים \{ R_i \}_{i \in I} כקבוצה \prod_{i \in I} {R_i} עם פעולות רכיב רכיב. מהמכפלה ניתן להגדיר הטלות p_i לכל אחד מהחוגים המשתתפים בה, אך אי אפשר לשכן אותם באופן טבעי במכפלה - ההעתקה המעבירה איבר לקואורדינטה המתאימה לא איננה הומומורפיזם, שכן איננה שומרת יחידה. המכפלה מקיימת את התכונה האונירסלית הבאה: אם S חוג כלשהו, ונתונות העתקות \{ f_i : R_i \to S\}, אז קיים ויחיד הומומורפיזם f: \prod_{i \in I}{R_i} \to S המקיים p_i \circ f = f_i. כלומר, כל הומומורפיזם מכל החוגים "עובר דרך" המכפלה.

במקרה של מכפלה סופית, יש התאמה מוחלטת בין האידאלים של החוגים לאידאלים של המכפלה - כל אידאל של המכפלה הוא בהכרח מהצורה I_1 \times ... \times I_t, כאשר I_i אידאל של R_i. במקרה האינסופי אין זה נכון (יש עוד אידאלים). יש גם התאמה בין הספקטרום של המכפלה הסופית לספקטרום של החוגים - אידאל במכפלה הוא ראשוני אם ורק אם הוא מהצורה R_1 \times ... \times R_{j-1} \times I_j \times R_{j+1} \times... \times R_t, כאשר I_j אידאל ראשוני של I_j.

פולינומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – חוג פולינומים

לכל חוג R, אוסף הפולינומים במשתנה בלתי תלוי x עם מקדמים מ-R הוא חוג, ביחס לפעולות החיבור והכפל של פולינומים, המסומן R[x]. הוא מכיל את R כתת-חוג. את הבניה הזו אפשר להכליל למספר כלשהו של משתנים- לאו דווקא סופי או בן-מניה, אך הפולינומים סופיים. אם F הוא שדה, אז \ F[x] הוא חוג אוקלידי ותחום ראשי, וגם ההפך נכון.

מנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – חוג מנה

בהינתן חוג R ואידאל (שמאלי) I, למנה R/I יש מבנה של חוג. בדרך זו אפשר לבנות חוגים רבים נוספים. לדוגמה, כל חוג קומוטטיבי הוא מנה של חוג פולינומים במספר (אולי אינסופי) משתנים מעל חוג השלמים Z.

חוגי מנה הם הבסיס בדרך להבנת משפטי האיזומורפיזם של חוגים, ויש להם תפקיד בסיסי ומרכזי בתיאוריה.

מטריצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – חוג מטריצות

חוג מטריצות \ \operatorname{M}_n(R) מורכב מן המטריצות מסדר n שרכיביהן שייכים ל- R, יחד עם פעולות החיבור רכיב-רכיב וכפל המטריצות, המושרות מפעולות החוג. גם כאן, אפשר לזהות את R עם תת-החוג הכולל את המטריצות הסקלריות. החוג הזה לעולם אינו קומוטטיבי (אלא אם n=1), איננו חוג עם חילוק ואף בעל נילפוטנטים. יש התאמה מלאה בין האידאלים של R לאידאלים של חוג המטריצות מעליו, ולכן, כאשר R חוג פשוט, גם החוג \ \operatorname{M}_n(R) פשוט. אם D הוא חוג עם חילוק, אז חוג מטריצות מעליו הוא ארטיני ופשוט. ההפך נכון לפי משפט ודרברן-ארטין.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • חוג שיש בו איבר אחד בלבד נקרא "חוג האפס", או "החוג הטריוויאלי".
  • אוסף המספרים השלמים \mathbb{Z} הוא חוג קומוטטיבי (חילופי). זהו תחום שלמות אוקלידי.
  • חוג השלמים של גאוס מהווה אף הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.
  • כל שדה הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.

תורת המבנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תורת המבנה של החוגים האסוציאטיביים התפתחה באינטנסיביות במהלך המאה ה-20, עם קפיצות מדרגה בשנות ה-30 (פיתוח תורת הרדיקלים) ושנות ה-60 (משפטי גולדי). כיום מזוהים בספרות המקצועית מאות משפחות של חוגים, שביניהן אפשר למנות: חוגים ארטיניים, נתריים, ראשוניים, פרימיטיביים ופשוטים, תחומי שלמות, ועוד רבים אחרים.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Fraenkel, A. (1914). "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. reine angew. Math. 145: 139–176.
  2. ^ ליאו קורי, The Origins of the definition of abstract rings
  3. ^ Noether, Emmy (1921). "Idealtheorie in Ringbereichen". Math. Annalen 83: 24–66.