חוג (מבנה אלגברי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, חוג הוא מבנה אלגברי בעל שתי פעולות בינאריות, המקיימות מספר אקסיומות (שיפורטו להלן), המכלילות כמה תכונות בסיסיות של חוג המספרים השלמים ושל חוג המטריצות מעל שדה.

תורת החוגים, העוסקת במבנה של חוגים שונים, היא מן התחומים המרכזיים באלגברה.

הגדרה ומבנים יסודיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוג הוא מבנה הכולל קבוצה \ R עם פעולות חיבור וכפל, המקיימות מספר תכונות:

  1. שתי הפעולות קיבוציות (אסוציאטיביות)
  2. פעולת החיבור חילופית (קומוטטיבית)
  3. קיים איבר יחידה ביחס לשתי הפעולות (ראה הסתייגות בסעיף הבא)
  4. קיים איבר נגדי לכל איבר ביחס לפעולת החיבור
  5. מתקיים חוק הפילוג (כלומר \ x\cdot (y+z) = x\cdot y+x\cdot z וכן (x+y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z)

אם פעולת הכפל גם היא חילופית, החוג נקרא "חוג חילופי". לדוגמה, חוג המספרים השלמים חילופי, אך חוג המטריצות אינו חילופי.

איבר יחידה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבנה אלגברי שבו מתקיימות כל האקסיומות, פרט לקיומו של איבר יחידה, נקרא "חוג בלי יחידה". לעתים, הטרמינולוגיה הפוכה, וחוג מציין מבנה המקיים את האקסיומות לעיל ללא איבר היחידה. באנגלית מקובל גם הסימון rng לציון חוג-בלי-יחידה (לעומת ring לציון חוג). ייתכן שבחוג-בלי-יחידה תהיה "יחידה-משמאל" (איבר e המקיים \ ex = x לכל x), ואף יחידות-משמאל רבות; או יחידה-מימין, ואף יחידות-מימין רבות; אבל אם יש גם יחידה-מימין וגם יחידה-משמאל, אז יש לחוג איבר יחידה אחד ויחיד.

הומומורפיזמים ואידאלים[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה \ f : A \rightarrow B מחוג לחוג היא "הומומורפיזם של חוגים", אם היא שומרת על החיבור והכפל ועל איבר היחידה. הגרעין של הומומורפיזם הוא אידאל של החוג A, ו"משפט האיזומורפיזם הראשון" קושר את החוגים שהומומורפיזם מגדיר באופן טבעי: \ A / \operatorname{Ker}(f) \cong \operatorname{Im}(f).

תת חוגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת קבוצה של חוג \ S\subset R שהיא חוג בפני עצמה, ביחס לאותן פעולות וקבועים, נקראת "תת-חוג". למשל, חוג המספרים השלמים הוא תת-חוג של שדה המספרים הרציונליים (המהווה שדה שברים שלו). אפשר להגדיר גם תת-חוג-בלי-יחידה, שממנו אין דורשים להכיל איבר יחידה. לדוגמה, אוסף המספרים הזוגיים הוא תת-חוג-בלי-יחידה של חוג המספרים השלמים. לדוגמה, המרכז של חוג, הכולל על-פי ההגדרה את כל האיברים \ c\in R המקיימים \,c \cdot r = r\cdot c לכל \ r\in R, הוא תת-חוג קומוטטיבי של החוג (אם כי יכולים להיות לחוג תת-חוגים קומוטטיביים גדולים יותר).

בניות של חוגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

תורת החוגים עשירה בדרכים לבנות חוגים חדשים. בין הפשוטות והמוכרות ביותר:

סכום ישר[עריכת קוד מקור | עריכה]

המכפלה הקרטזית \ R\times S של שני חוגים \ R,S עם הפעולות על הרכיבים נקראת סכום ישר של החוגים. משפט השאריות הסיני מפרק חוגים שיש להם אידאלים מקסימליים עם חיתוך טריוויאלי, לסכום ישר של חוגי מנה.

פולינומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל חוג R, אפשר לבנות את חוג הפולינומים \ R[\lambda].

לכל חוג R, אוסף הפולינומים במשתנה x עם מקדמים מ-R הוא חוג, ביחס לפעולות החיבור והכפל של פולינומים, והוא מכיל את R כתת-חוג. מקובל לסמן את החוג ב- \,R[x]. את הבניה הזו אפשר להכליל למספר כלשהו של משתנים (לאו דווקא סופי או בן-מניה). אם F הוא שדה, אז \ F[x] הוא חוג אוקלידי.

מנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן חוג R ואידאל דו-צדדי I, למנה R/I יש מבנה של חוג. בדרך זו אפשר לבנות חוגים רבים נוספים. לדוגמה, כל חוג קומוטטיבי הוא מנה של חוג פולינומים במספר (אולי אינסופי) משתנים מעל חוג השלמים Z.

מטריצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוג המטריצות \ \operatorname{M}_n(R) מורכב מן המטריצות מסדר n שרכיביהן שייכים ל- R. גם כאן, אפשר לזהות את R עם תת-החוג הכולל את המטריצות הסקלריות. החוג הזה לעולם אינו קומוטטיבי (אלא אם n=1 ואז R כן קומוטטיבי). יש התאמה מלאה בין האידאלים של R לאידאלים של חוג המטריצות מעליו, ולכן, כאשר R חוג פשוט, גם החוג \ \operatorname{M}_n(R) פשוט. אם R הוא חוג עם חילוק, אז חוגי המטריצות מעליו הם ארטיניים.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • חוג שיש בו איבר אחד בלבד נקרא "חוג האפס", או "החוג הטריוויאלי".
  • אוסף המספרים השלמים \mathbb{Z} הוא חוג קומוטטיבי (חילופי). זהו תחום שלמות אוקלידי.
  • חוג השלמים של גאוס מהווה אף הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.
  • כל שדה הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.

תורת המבנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תורת המבנה של החוגים האסוציאטיביים התפתחה באינטנסיביות במהלך המאה ה-20, עם קפיצות מדרגה בשנות ה-30 (פיתוח תורת הרדיקלים) ושנות ה-60 (משפטי גולדי). כיום מזוהים בספרות המקצועית מאות משפחות של חוגים, שביניהן אפשר למנות: חוגים ארטיניים, נותריים, ראשוניים, פרימיטיביים ופשוטים, תחומי שלמות, ועוד רבים אחרים.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


מושגי יסוד באלגברה מופשטת

מונואידחבורהחוגתחום שלמותשדהמודולאלגברה (מבנה אלגברי)תורת החבורותתורת גלואהאלגברת ליהומומורפיזםמשפטי האיזומורפיזםתת חבורה נורמליתאידאללוקליזציההצגה לינארית