נוצר סופית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה מופשטת, אובייקט נוצר סופית הוא מבנה אלגברי שאפשר לקבל כל איבר שלו מתוך קבוצה סופית של איברים. אופי הפעולות שאותן אפשר להפעיל על קבוצת היוצרים אינו קבוע, ואמור להיות מובן מתוך ההקשר. לכן יש להבדיל בין התכונות נוצר סופית כמודול, נוצר סופית כאידאל, נוצר סופית כחוג, נוצר סופית כשדה, וכן הלאה. בכל המקרים האלה, המבנה נוצר סופית אם יש בו קבוצת איברים סופית שהוא תת-המבנה הקטן ביותר המכיל את כולם.

מרחב וקטורי נוצר סופית אינו אלא מרחב וקטורי בעל ממד סופי. באופן כללי יותר, אומרים שמודול M נוצר סופית מעל חוג R, אם יש קבוצת איברים \ x_1,\dots,x_n\in M כך שכל איבר ב-M הוא צירוף מהצורה \ a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n עבור מקדמים מתאימים \ a_1,\dots,a_n \in R. מודול כזה נקרא גם מודול סופי. נוסח זה מתאים גם עבור אידאל שמאלי.

חוג נוצר סופית נקרא גם חוג אפיני. בהחלט ייתכן שחוג שאינו נוצר סופית ככזה, יהיה נוצר סופית כשדה; או שמודול שאינו נוצר סופית ככזה, יהיה נוצר סופית כחוג. לדוגמה, שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד, \ F(x) (מעל שדה F) נוצר על ידי איבר אחד כשדה, אבל אינו נוצר סופית כחוג. (אחד המשפטים היסודיים באלגברה קומוטטיבית קובע שחוג אפיני אינו יכול להיות שדה אלא במקרה הטריוויאלי). באותו אופן, חוג הפולינומים במשתנה אחד \ F[x] נוצר כמובן סופית כחוג, אבל הוא בעל מימד אינסופי מעל F, ואינו סופי כמודול.

כאשר יש לאובייקט האלגברי מבנה נוסף, כגון טופולוגיה, אפשר לכלול את המבנה הזה בהגדרה. לדוגמה, אומרים שחבורה טופולוגית היא נוצרת סופית (כחבורה טופולוגית) אם יש בה קבוצה סופית שאינה מוכלת באף תת-חבורה סגורה; כאן הפעולות המותרות הן פעולות החבורה, ובנוסף להן פעולת הגבול הטופולוגי. לדוגמה, חוג השלמים ה-p-אדיים נוצר סופית כחבורה טופולוגית: אפשר ליצור אותו מאיבר אחד, ולכן החבורה הזו נקראת גם "חבורת-p הטופולוגית הציקלית".

המבנה של אובייקטים נוצרים סופית עשוי להיות מסובך ביותר, ובדרך כלל תכונה זו אינה נשמרת במעבר לתת-אובייקטים. למשל, יש דוגמה לחבורה פתירה מוצגת סופית שהמרכז שלה אינו נוצר סופית. לעומת זאת, תנאי השרשרת העולה נשמר במעבר לתת-אובייקטים, והוא מהווה תחליף מבני ראוי לנוצרות סופית. לפעמים לא ברור האם אובייקט טבעי הוא בעל קבוצת יוצרים סופית או לא. למשל, חבורת המטריצות \ \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}) נוצרת סופית, אבל \ \operatorname{GL}_2(F[t]) אינה נוצרת סופית אפילו אם F שדה סופי; תוצאות בתורת K האלגברית מראות ש-\ \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_d]) נוצרת סופית אם n גדול מספיק, אבל לא תמיד ידוע הערך הראשון שבו התופעה מתרחשת.