מחלק אפס

באלגברה, איברים שונים מאפס a,b של חוג שמכפלתם היא אפס נקראים מחלקי אפס. איבר $\ a \neq 0$ נקרא מחלק אפס ימני אם קיים $\ b \neq 0$ כך ש- $\ ab = 0$, ובדומה לזה b הוא מחלק אפס שמאלי. בחוג קומוטטיבי, מושגים אלו מתלכדים. חוג שאין בו מחלקי אפס נקרא תחום, ותחום קומוטטיבי נקרא תחום שלמות. לדוגמה, בשדה אין מחלקי אפס.

דוגמאות

1. נביט בחוג המטריצות מסדר $\ 2\times 2$ מעל המספרים הרציונליים. מכיוון ש- $\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix}$ הוא מחלק אפס שמאלי ו$\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}$ היא מחלק אפס ימני. באופן כללי, מטריצה מעל שדה היא מחלק אפס (ימני ושמאלי) אם ורק אם היא אינה הפיכה.

2. כל אידמפוטנט e שאינו איבר היחידה של החוג הוא מחלק אפס. (אכן, לפי ההנחה קיים x בחוג כך ש-$\ ex-x \neq 0$, ואז $\ e(ex-x)=ex-ex=0$). בפרט איבר יחידה של תת-חוג, שאינו איבר יחידה של החוג כולו, הוא מחלק אפס.

ראו גם

• מאפס
• תחום