מחלק אפס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה, איברים שונים מאפס a,b של חוג שמכפלתם היא אפס נקראים מחלקי אפס. איבר \ a \neq 0 נקרא מחלק אפס ימני אם קיים \ b \neq 0 כך ש- \ ab = 0, ובדומה לזה b הוא מחלק אפס שמאלי. בחוג קומוטטיבי, מושגים אלו מתלכדים. חוג שאין בו מחלקי אפס נקרא תחום, ותחום קומוטטיבי נקרא תחום שלמות. לדוגמה, בשדה אין מחלקי אפס.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

1. נביט בחוג המטריצות מסדר \ 2\times 2 מעל המספרים הרציונליים. מכיוון ש- \begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix} הוא מחלק אפס שמאלי ו\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} היא מחלק אפס ימני. באופן כללי, מטריצה מעל שדה היא מחלק אפס (ימני ושמאלי) אם ורק אם היא אינה הפיכה.

2. כל אידמפוטנט e שאינו איבר היחידה של החוג הוא מחלק אפס. (אכן, לפי ההנחה קיים x בחוג כך ש-\ ex-x \neq 0, ואז \ e(ex-x)=ex-ex=0). בפרט איבר יחידה של תת-חוג, שאינו איבר יחידה של החוג כולו, הוא מחלק אפס.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]