אלגברה אוניברסלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אלגברה אוניברסלית (לעתים מכונה אלגברה כללית) הינה תחום במתמטיקה העוסק בחקר הרעיונות המשותפים לכל המבנים האלגבריים. מבנה אלגברי (או בפשטות אלגברה) מורכבת מקבוצה A בצירוף פעולות מסוימות החלות על העצמים ב- A. פעולה נולארית (0-ארית) מיוצגת על ידי עצם ב- A (קבוע) אותו מכנים בדרך-כלל באמצעות אות קטנה, למשל a. פעולה אונרית (1-ארית) הינה פונקציה מ- A ל- A, לרוב מיוצגת באמצעות סימן המושם לפני הארגומנט,למשל x~. פעולה בינארית (2-ארית) בדרך-כלל מיוצגת על ידי סימן המושם בין הארגומנטים, כמו למשל x * y. פעולות מסדר גודל גבוה יותר, או מסדר גודל לא מוגדר מסומנות באמצעות סימני פונקציה ולאחריהם הארגומנטים בסוגריים, כמו למשל (f(x,y,z או (f(x1,...,xn.

לאחר שהוגדרו הפעולות, ניתן לעצב את טבעה של האלגברה ביתר פירוט על ידי הוספת אקסיומות, אשר באלגברה האוניברסלית בדרך-כלל מנוסחות באמצעות חוקי משוואה. דוגמה לכך הינה אקסיומת האסוציאטיביות עבור פעולה בינארית אשר ניתנת על ידי המשוואה x * (y * z) = (x * y) * z. הכוונה היא שהאקסיומה תקפה לכל העצמים x, y ו- z של הקבוצה A.

ניתן להגדיר את האלגברה האוניברסלית כענף מיוחד של תורת המודלים, ענף בו עוסקים במבנים אשר להם פעולות בלבד (בתוספת יחס השוויון) ושפת הניתוח שלו כוללת רק משוואות. מצד שני, המבנים הינם כאלה שניתן להגדירם בכל קטגוריה אשר לה מכפלות סופיות.

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.