פעולה בינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, פעולה בינארית (או אופרטור בינארי) היא פעולה המתבצעת בין שני איברים בקבוצה (לא בהכרח שונים זה מזה). בניסוח פורמלי יותר: פעולה בינארית היא פונקציה מזוגות סדורים של אברי הקבוצה אל הקבוצה, ובסימון מתמטי: עבור הקבוצה \ S פעולה בינארית היא פונקציה \ f מהמכפלה הקרטזית של הקבוצה בעצמה, אל הקבוצה: \ f: S\times S \to S. לעתים \ f היא פונקציה חלקית, לדוגמה לא ניתן לחלק באפס.

חיבור, חיסור, כפל וחילוק הן פעולות בינאריות נודעות. גם כפל מטריצות הוא פעולה בינארית. שרשור מחרוזות, כלומר פעולה שלוקחת שתי מחרוזות של תווים ומצמידה אותן זו לזו, היא דוגמה נוספת לפעולה בינארית.

פעולות בינאריות הן הבסיס למבנים אלגבריים הנחקרים במסגרת האלגברה המופשטת. מבנים העוסקים בפעולות בינאריות הם חבורה, חוג, שדה ועוד.

פעולה בינארית מסומנת פעמים רבות בין שני האיברים שעליהם היא פועלת, למשל, אופרטור החיבור \ + נכתב \ a+b, ולא בכתיב הפונקציונלי \ +(a,b).

פעולות בינאריות הן פעמים רבות קומוטטיביות או אסוציאטיביות. פעמים רבות יש בהן איבר אדיש ואיבר הופכי. נדגים מושגים אלה באמצעות פעולה שנסמנה \ \star הפועלת על קבוצה \ S

  • פעולה המקיימת x \star y = y\star x לכל \ x,y\in S נקראת פעולה חילופית (קומוטטיבית).
  • פעולה המקיימת (x \star y) \star z = x \star (y \star z) לכל \ x,y,z\in S נקראת פעולה אסוציאטיבית (כלומר מקיימת את חוק הקיבוץ).
  • אם קיים איבר \ e\in S אשר מקיים לכל \ x\in S את התנאי \ x \star e = e\star x =x אז הוא נקרא איבר אדיש (או נייטרלי) כלפי הפעולה. לפי ההקשר, איבר אדיש יכונה איבר יחידה או איבר האפס, ויסומן כ־\ 1, כ־\ 0, כ־\ e או כ־\ I.
  • אם קיים איבר אדיש \ e לפעולה, אז איבר ההופכי לאיבר \ x\in S הוא איבר y \in S שמקיים \ x\star y = y\star x =e . האיבר ההופכי מסומן לרוב כ־\ x^{-1} או כ־\ -x.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]