תורת המודלים

תורת המודלים היא תחום במתמטיקה העוסק בחקר מודלים של תורות מתמטיות, תוך שימוש בכלים מלוגיקה מתמטית. מושאי המחקר העיקריים בתחום זה הם מבנים בשפות פורמליות, לרוב בלוגיקה מסדר ראשון. כיום מקובלת חלוקה של תורת המודלים לתורת המודלים הקלאסית (ובפרט classification theory), ליישומים של תורת המודלים באלגברה ולתורת המודלים הגאומטרית.

מבוא

תורת המודלים התפתחה במאה ה-20 מתוך הלוגיקה המתמטית. מוצאה ממשפט השלמות של גדל, שמאפשר לדבר על ספיקות ועל מודלים במקום על יכיחות. זו נקודת מבט שהביאה לגילויים של משפט הקומפקטיות ומשפטי לוונהיים-סקולם, שמהווים את הבסיס לתחום כולו.

מרגע שהוכחו שני המשפטים האלו, התחום הלך וצבר תאוצה:

• באמצעות משפט הקומפקטיות, ניתן היה למצוא מודלים שמקיימים תכונות מסוימות (כמו מודלים לא סטנדרטיים של האריתמטיקה, או מודלים לאנליזה לא סטנדרטית).
• משפט לוונהיים סקולם אפשר לדרוש, לתורות מסוימות, מודלים מעוצמות רצויות.
• נמצאו יישומים ראשונים עבור אלגברה; למשל, הוכחתו של טרסקי לכך שתורת השדות הסגורים ממשית היא בעלת חילוץ כמתים (אנ'), הביאה למציאת פתרון אלגנטי לבעיה ה-17 של הילברט.
• במידה מסוימת אופיין כוח ההבעה של הלוגיקה מסדר ראשון (משפט לינדסטרום).
  

במקביל, תורת המודלים כבר לא הסתפקה באפיון המודלים הקיימים לתורות מסדר ראשון ובהוכחת תכונות שלהם; פותחו שיטות לסיווג מודלים על פי עושרם המתמטי, ולא רק על פי עוצמתם.

• מודלים 'עשירים' הם למשל מודלים רוויים. בשפה לא פורמלית, העושר שלהם מתבטא בכך שלכל תכונה הגיונית שאיבר בהם יכול לקיים, יש איבר שיקיים אותה. (בהרחבה, 'תכונה הגיונית' היא טיפוס (ייתכן חלקי) מסדר n מעל קבוצה שעוצמתה קטנה מעוצמת המודל).
• מודלים 'דלים', הם למשל מודלים אטומיים: כל תכונה הגיונית שאיבר בהם יכול לקיים, ניתנת להצגה באופן קומפקטי באמצעות נוסחה אחת (עם פרמטרים). מבלי להיכנס לעומק, תכונה זו גוררת שעוצמת התכונות המעניינות מקבלת את הערך הקטן ביותר שהיא יכולה לקבל - עוצמת אוסף הנוסחאות עם פרמטרים (זאת, אף על פי שהפוטנציאל לעוצמה זו במודלים כלליים גדול יותר).
• דוגמה נוספת למודלים 'דלים': מודלים ראשוניים; אלו, על פי ההגדרה, מודלים הניתנים לשיכון בכל מודל אחר של התורה. למשל, בתורת הסדרים הקוויים הצפופים ללא איבר ראשון ואחרון, המספרים הרציונליים ניתנים לשיכון בכל מודל אחר.

מושגים בסיסיים נוספים בתורת המודלים הם על מכפלות, טיפוסים, מודלים אטומיים והומוגניים, אי בחינים ויציבות.

משפטים חשובים

משפט Ryll-Nardzewski: משפט זה מאפשר לאפיין את התורות שיש להן בדיוק מודל בן מניה אחד עד כדי איזומורפיזם; אלה התורות ה-$\!\, \aleph_0$-קטגוריות.
נמצאו (באופן בלתי תלוי, על ידי מספר חוקרים) התנאים השקולים הבאים לתורות בשפות בנות מניה, שיש להן מודלים אינסופיים:

1. התורה $\!\, \aleph_0$-קטגורית;
2. כל טיפוס מסדר n הוא מבודד (לכל n טבעי);
3. לכל n טבעי, אוסף הטיפוסים מסדר n הוא סופי;
4. לכל מספר טבעי n, יש מספר סופי של נוסחאות עם n משתנים חופשיים, עד כדי שקילות ביחס לתורה;
5. כל מודל בן מניה של התורה הוא אטומי.

משפט "לעולם לא 2" של ווט: ההצבעה על מודלים רוויים ואטומיים מאפשרת להוכיח שלא ייתכן שלתורה מסדר ראשון בשפה בת מניה יהיו שני מודלים בני מניה עד כדי איזומורפיזם (זהו משפט ווט - vaught's 'never 2' theorem). הסיבה לכך היא שניתן להוכיח שקיומם של שני מודלים בדיוק מחייבת שאחד מהם הוא ראשוני, והשני הוא רווי. מתוכם ניתן ליצור מודל שלישי, שהוא אינו ראשוני ואינו רווי, ולכן לא איזומורפי לאף אחד משני המודלים האלה.

משפט האיזומורפיזם של סקוט: נובע ממחקר מתקדם יותר בתורת המודלים, כשהמודלים אינם בלוגיקה מסדר ראשון. הרקע למשפט הוא פיתוחן של לוגיקות אינסופיות (בהן ניתן לכמת על מספר אינסופי של איברים, ולבצע קוניונקציות ודיסיונקציות אינסופיות). אחת מהן היא הלוגיקה $L(\omega_1,\omega)$, שהיא חזקה מהלוגיקה מסדר ראשון - היא עולה עליה בכך שניתן לבצע בה קוניונקציות ודיסיונקציות בנות מניה. משפט האיזומורפיזם של סקוט אומר שלכל מבנה בן מניה יש פסוק בלוגיקה $L(\omega_1,\omega)$ המאפיין אותו עד כדי איזומורפיזם.

השערת ווט

שאלות רבות עולות בקשר למספר המודלים מעוצמה k, עד כדי איזומורפיזם, שיש לתורה T (לצורך הפשטות דנים בתורה שהיא בת מניה מסדר ראשון, ובעלת מודלים אינסופיים). נסמן מספר זה ב-$I(T,k)$.
בפרט נחקרה שאלה זו לגבי הערכים שיכול לקבל $I(T,\aleph_0)$: קל לראות שיש למונה זה חסם עליון, והוא $2^{\aleph_0}$. ממשפט "אף פעם לא 2" של ווט, מונה זה שונה מ-2. מצד שני, לכל מספר טבעי אחר n יש דוגמה לתורה T כך ש- $I(T,\aleph_0)$=n. כך גם ל-$\!\, \aleph_0$. השערת ווט (vaught's conjecture) היא ההשערה שאלו האפשרויות היחידות: אם $I(T,\aleph_0)$ אינו בן מניה, אז עוצמתו היא כעוצמת הרצף. קל לראות שהיא נובעת בקלות מהשערת הרצף; אך ללא הנחת השערת הרצף מתקבלת בעיה קשה מאוד לפתרון.

משפט מורלי: מורלי (Morley) הגיע לפתרון חלקי לבעיה זו. הוא הוכיח שללא השערת הרצף, אם מניחים כי $I(T,\aleph_0)$ גדול מ- $\!\, \aleph_1$, אז עוצמתו היא בהכרח $2^{\aleph_0}$. הוכחת המשפט עושה שימוש כביר בלוגיקה אינסופית (למרות שניסוחו תקף ללוגיקה מסדר ראשון, ולכאורה לא מצריך מעבר כזה) ובתורת הקבוצות התיאורית.
אם כן, מחוזקים ממשפט מורלי, פתרון השערת ווט מצטמצם לשאלה האם קיימת תורה T עבורה $I(T,\aleph_0)$ שווה ל - $\aleph_1$. להוכיח שלא תיתכן תורה כזו, או לחלופין לתת דוגמה לתורה כזו (בהנחת שלילת השערת הרצף), פירושו לפתור את השערת ווט.

בעשור הקודם טען חוקר אמריקאי שהפריך את השערת ווט. המאמר שכתב בנושא הנו סבוך וארוך, ולא נבדק לעומקו. עד היום אין וודאות לגבי מהימנות הפתרון, ולכן ההשערה לא נפתרה רשמית. יש לציין שהשערת ווט הוכחה עבור מחלקות מרכזיות של תורות, בהן תורות $\omega$-יציבות, תורות o-מינימליות, תורות של גרפים ומחלקות נוספות. לכן, עד העשור הקודם, הדעה הרווחת הייתה שהשערת ווט נכונה.

לקריאה נוספת

• [1973] (1990) Model Theory, 3rd, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3. 
• (1997) A shorter model theory. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58713-6. 
• Marker, David (2002). Model Theory: An Introduction, Graduate Texts in Mathematics 217. Springer. ISBN 0-387-98760-6.