הומולוגיה (מתמטיקה)

במתמטיקה, הומולוגיה היא שם כללי למשפחה של אינווריאנטים^(אנ') של אובייקטים שונים מכמה תחומים. הומולגיות מוגדרות עבור מרחבים טופולוגיים, חבורות, קומפלקסי שרשרת ועוד אובייקטים קשורים. עבור אובייקט $X$ מסמנים את ההומולוגיה ה-$i$ של $X$ ב-$.H_i(X)$ האינדקס $i$ הוא מספר שלם וההומולוגיה היא, כמעט תמיד, חבורה אבלית. לעתים מוגדרים עליה גם מבנים נוספים.

כמעט בכל המקרים, ניתן להגדיר את המושג הומולוגיה דרך המושג הומולוגיה של קומפלקס שרשרת. הדרך האופיינית להגדרת ההומולוגיה של $X$ היא להגדיר תחילה קומפלקס שרשרת $C(X)$ ואז להגדיר $.H_i(X):=H_i(C(X))$ הגדרת הקומפלקס $C(X)$ יחודית לכל סוג אובייקטים (מרחב טופולוגי, חבורה, וכו'). לכל אובייקט $X$ בנית הקומפלקס $C(X)$ אינה קנונית ותלויה בבחירות מסוימות, אבל התוצאה הסופית $H_i(X)$ לא תלויה בבחירות אלו.

ניתן להעשיר את המושג הומולוגיה על ידי הוספת מקדמים. לדוגמה עבור מרחב טופולוגי $X$ וחבורה אבלית (או באופן כללי יותר אלומת חבורות אבליות מעל $X$) $G$, ניתן להגדיר את ההומולגיה $H_i(X,G)$ של $X$ עם מקדמים ב-$.G$ באופן דומה ניתן להגדיר הומולוגיה של חבורה $\Gamma$ עם מקדמים בהצגה $V$ של $.\Gamma$

כמעט תמיד אפשר לראות במושג הומולוגיה מקרה פרטי של המושג פונקטור הנגזר.

ראו גם

סוגים של הומולוגיות

• הומולוגיה של קומפלקס שרשרת
• הומולוגיה של מרחב טופולוגי
• הומולוגיה של חבורה
• הומולוגיה של אלומה

משגים קשורים

• אלגברה הומולוגית
• קוהומולוגיה
• פונקטור נגזר
• הומוטופיה