קומפלקס שרשרת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובפרט באלגברה הומולוגית, קומפלקס שרשרת (או קומפלקס) הוא אמצעי אלגברי, אשר מקורו בטופולוגיה אלגברית. במקור הוא איפשר לבטא את הקשר האלגברי בין ציקלוסים ושפות של מרחב כלשהו. באופן כללי יותר, אלגברה הומולוגית עוסקת בעיקר בחקר של קומפלקסים בצורה אבסטרקטית, ללא קשר גאומטרי או טופולוגי מפורש.

השימוש העיקרי של קומפלקסים הוא על מנת להגדיר חבורות הומולוגיה (או קוהומולוגיה עבור קומפלקסי קו-שרשראות).

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

קומפלקס שרשרת (A_\bullet, d_\bullet) הוא סדרה של חבורות אבליות או מודולים ... A-2, A-1, A0, A1, A2, ... המקושרים על ידי הומומורפיזמים (הנקראים אופרטורי שפה) dn : AnAn−1 כך שההרכבה של כל שני הומומורפיזמים עוקבים שווה ל0: dn o dn+1 = 0 לכל n. בדרך כלל נרשם קומפלקס בדרך הבאה:

\cdots \to 
A_{n+1} \begin{matrix} d_{n+1} \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_n \begin{matrix} d_n \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_{n-1} \begin{matrix} d_{n-1} \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_{n-2} \to \cdots \to
A_2 \begin{matrix} d_2 \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_1 \begin{matrix} d_1 \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_0 \begin{matrix} d_0 \\ \to \\ \, \end{matrix} 
A_{-1} \begin{matrix} d_{-1} \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_{-2} \begin{matrix} d_{-2} \\ \to \\ \, \end{matrix} 
\cdots

הגדרה קרובה להגדרה זו היא של קומפלקס קו-שרשרת. קומפלקס קו-שרשרת (A^\bullet, d^\bullet) הוא סדרה של חבורות אבליות או מודולים ... A-2, A-1, A0, A1, A2, ... המקושרים על ידי הומומורפיזמים dn : AnAn+1, כך שההרכבה של כל שני הומומורפיזמים עוקבים היא 0: dn+1 o dn = 0 לכל n. בדרך כלל נרשם קומפלקס קו-שרשרת בדרך הבאה:


\cdots \to 
A_{-2} \begin{matrix} d_{-2} \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_{-1} \begin{matrix} d_1 \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_0 \begin{matrix} d_0 \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_1 \begin{matrix} d_1 \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_2 \to \cdots \to
A_{n-1} \begin{matrix} d_{n-1} \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_n \begin{matrix} d_n \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_{n+1} \to \cdots.

הרעיון בשני המקרים זהה, וההבדל הוא פשוט כיוון ההתקדמות של החצים. בשני המקרים האינדקס i ב Ai נקרא דרגה.

קומפלקס שרשרת חסום הוא קומפלקס שרשרת בו כמעט לכל i (כלומר, פרט למספר סופי) מתקיים ש Ai שווה ל0. קומפלקס סופי ניתן להמשכה שמאלה וימינה על ידי אפסים. בדומה, קומפלקס שרשרת חסום מלמעלה הוא קומפלקס שרשרת כך שקיים n כך שלכל i>n מתקיים ש Ai שווה ל0. קומפלקס שרשרת חסום מלמטה מוגדר באופן דומה.

סימונים והגדרות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם נשמיט את האינדקסים, הקשר הטבעי על d ניתן לניסוח על ידי:

d2 = 0.

התמונה של d היא חבורת השפות, או בקומפלקס קו-שרשרת - חבורת הקו-שפות. הגרעין של d נקרא חבורת הציקלוסים, או במקרה של קומפלקס קו-שרשרת- חבורת הקו-ציקלוסים. מכיוון ש d2 = 0 הרי שחבורת השפות היא תת חבורה של חבורת הציקלוסים.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • כל סדרה מדויקת היא קומפלקס שרשרת, משום שבסדרה מדויקת התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם הבא אחריו, ובפרט ההרכבה של שני הומומורפיזמים עוקבים שווה ל0.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]