הלמה היסודית של חשבון וריאציות

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בחשבון וריאציות, הלמה היסודית של חשבון וריאציות היא למה העוסקת בהתאפסות פונקציה עקב התאפסות אינטגרל עם פונקציה נוספת עליה. מספר גרסאות של הלמה נמצאות בשימוש, וחלקן מפורטות בהמשך הערך.

מוטיבציה

בחשבון וריאציות, וריאציה δf של פונקציה f יכולה להיות מרוכזת במקטע מסוים ולא בנקודה אחת. לפיכך, תנאי הכרחי למציאת נקודת קיצון (נקודה בה הנגזרת הפונקציונלית שווה לאפס) מכיל פעמים רבות אינטגרל עם פונקציה שרירותית δf. הלמה היסודית של חשבון וריאציות היא כלי העוזר להיפטר מהאינטגרל עם הפונקציה השרירותית.

הגרסה הבסיסית

אם פונקציה רציפה מעל קטע פתוח מקיימת את השוויון

$\int _{a}^{b}f(x)h(x)\,\operatorname {d} x=0$

עבור כל פונקציה חלקה  $h$ בעלת תומך קומפקטי מהקטע $(a,b)$ אז $f$ היא פונקציית האפס. כאן "חלקה" עשוי להתפרש כ"גזירה אינסוף פעמים", אך לעיתים קרובות מתפרש כ"גזירה פעמיים ברציפות" או "גזירה ברציפות" או אפילו רק "רציפה", שכן הדרישות החלשות יותר הללו עשויות להיות חזקות מספיק (כתלות במה שידוע על הפונקציה h). "בעלת תומך קומפקטי" פירושו "מתאפסת מחוץ לקטע $(c,d)$ עבור c,d כך ש- $a<c<d<b$"; אך לעיתים קרובות מספיקה הדרישה החלשה יותר לפיה h, או h וחלק מנגזרותיה, מתאפסות בקצוות הקטע a,b. במקרה זה עוסקים בקטע הסגור ${\displaystyle [a,b]}$.

גרסה עבור שתי פונקציות

אם זוג רציפה של פונקציות f, g על קטע (a,b) מקיימות את השוויון

$\int _{a}^{b}(f(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x))\,\mathrm {d} x=0$

עבור כל פונקציה חלקה בעלת תומך קומפקטי h מהקטע (a,b) אז g היא גזירה, ומתקיים  g' = f בכל מקום. עבור g=0 מתקבלת הגרסה הבסיסית.

ישנו עוד מקרה מיוחד, עבור f = 0: אם פונקציה רציפה g מעל הקטע (a,b) מקיימת את השוויון

$\int _{a}^{b}g(x)\,h'(x)\,\mathrm {d} x=0$

עבור כל פונקציה חלקה בעלת תומך קומפקטי h על (a,b), אז g היא פונקציה קבועה.

נגזרות מסדרים גבוהים יותר

אם אוסף של פונקציות רציפות $f_{0},f_{1},\dots ,f_{n}$ על קטע (a,b) מקיים את השוויון

$\int _{a}^{b}(f_{0}(x)\,h(x)+f_{1}(x)\,h'(x)+\dots +f_{n}(x)\,h^{(n)}(x))\,\mathrm {d} x=0$

עבור כל פונקציה חלקה בעלת תומך קומפקטי h מהקטע (a,b), אז קיים אוסף של פונקציות גזירות ברציפות $u_{0},u_{1},\dots ,u_{n-1}$ מעל (a,b) כך ש

$f_{0}=u'_{0},\;f_{1}=u_{0}+u'_{1},\;\dots ,\;f_{n-1}=u_{n-2}+u'_{n-1},\;f_{n}=u_{n-1}$

בכל מקום. התנאי ההכרחי הוא גם מספיק, שכן האינטגרנד הופך מקבל את הצורה ${\displaystyle (u_{0}h)'+(u_{1}h')'+\dots +(u_{n-1}h^{(n-1)})'}$.

המקרה n = 1 הוא פשוט הגרסה עבור שתי פונקציות, ואז $f=f_{0}=u'_{0}$ ו $f_{1}=u_{0},$ לפיכך, ${\displaystyle f_{0}-f'_{1}=0}$.

לעומת זאת, המקרה n=2 לא מוביל לקשר$f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0,$ שכן הפונקציה $f_{2}=u_{1}$ לא צריכה להיות גזירה פעמיים. התנאי המספיק $f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0$ הוא לא הכרחי. במקום זאת, תנאי הכרחי ומספיק יכול להיות כפי שנכתב $f_{0}-(f_{1}-f'_{2})'=0$ עבור n=2, $f_{0}-(f_{1}-(f_{2}-f'_{3})')'=0$ עבור n=3, וכן הלאה; באופן כללי, אי אפשר לפתוח את הסוגריים כי לא מובטחת הגזירות של כל איבר בנפרד.

פונקציות רבות משתנים

אם f היא פונקציה רציפה המקבלת כמה משתנים, מהקבוצה הפתוחה $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$

$\int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0$

לכל פונקציה חלקה בעלת תומך קומפקטי מתוך Ω, אז f היא זהותית אפס. בדומה לגרסה הפשוטה, אפשר לדרוש f רציפה על הסגור של Ω, ולדרוש ש-h מתאפסת בקצוות של Ω.

הנה גרסה לפונקציות רבות משתנים שאינן בהכרח רציפות: אם $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ קבוצה פתוחה, וכן $f\in L^{2}(\Omega )$ מקיימת את השוויון

$\int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0$

עבור כל פונקציה חלקה h בעלת תומך קומפקטי מתוך Ω, אז f=0 (הכוונה לשוויון ב- L², כלומר, כמעט בכל מקום).

שימושים

הלמה משמשת למציאת נקודות אקסטרמום לפונקציונלים מהצורה

$J[y]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}L(t,y(t),{\dot {y}}(t))\,\mathrm {d} t$

במקרה הזה, הפתרונות $y:[x_{0},x_{1}]\to V$ (עבור מרחב וקטורי מתאים V) פרט לתנאי השפה ניתנים על ידי משוואת אוילר לגראנז':

${\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial y}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial {\dot {y}}}$

פיתוח המשוואה כולל שימוש בלמה. המשוואה משחקת תפקיד מרכזי במכניקה קלאסית וכן בגאומטריה דיפרנציאלית.