נקודת קיצון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
נקודות קיצון מקומיות וגלובליות עבור הפונקציה cos(3πx)/x, 0.1≤x≤1.1

במתמטיקה, נקודת קיצון (נקודת אקסטרמום) של פונקציה סקלרית היא נקודה שבה ערכה הוא גבוה ביותר או נמוך ביותר. יש להבדיל בין נקודות קיצון מקומיות ובין נקודות קיצון גלובליות. נקודת קיצון גלובלית היא כזו שהערך בה הוא הגדול ביותר (או הנמוך ביותר) בכל תחום ההגדרה של הפונקציה. לעומת זאת, נקודת קיצון מקומית הוא כזו שקיימת סביבה של הפונקציה שבה ערכה של הפונקציה באותה נקודה הוא הגבוה או הנמוך ביותר.

הדרך היעילה ביותר למציאת נקודות קיצון של פונקציה היא באמצעות שימוש בנגזרת.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ f(x):\mathbb{R}^n\rarr \mathbb{R} פונקציה.

  • נאמר שהנקודה \ x_0 היא מקסימום גלובלי של הפונקציה אם לכל נקודה \ x בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים \ f(x_0)\ge f(x).
  • נאמר שהנקודה \ x_0 היא מינימום גלובלי של הפונקציה אם לכל נקודה \ x בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים \ f(x_0)\le f(x).
  • נאמר שהנקודה \ x_0 היא מקסימום מקומי של הפונקציה אם קיימת סביבה \ U של \ x_0 לכל נקודה \ x\isin U בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים \ f(x_0)\ge f(x).
  • נאמר שהנקודה \ x_0 היא מינימום מקומי של הפונקציה אם קיימת סביבה \ U של \ x_0 לכל נקודה \ x\isin U בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים \ f(x_0)\le f(x).

בשם נקודת קיצון של \ f(x) נקרא לכל נקודת מינימום או מקסימום, מקומית או גלובלית, של הפונקציה.

נשים לב כי הגדרה זו מתבססת על כך שהפונקציה היא סקלרית, כלומר תמונתה היא מספר ממשי. אם הפונקציה הייתה מחזיקה וקטור, למשל, היה טבעי פחות לדבר על נקודות קיצון שכן אין לוקטורים יחס סדר כמו זה של המספרים הממשיים.

משפט פרמה קובע כי אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, ובאותה הנקודה יש לה נקודת קיצון (מקסימום מקומי או מינימום מקומי), הנגזרת שווה לאפס באותה נקודה. כלומר שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא אפס. ההפך לא תמיד נכון - נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת.

נשים לב כי יכולה להיות נקודת קיצון גם במקרה בו הנגזרת לא מוגדרת, כלומר בנקודה בה שיפוע המשיק, אם קיים, אינו מוגדר. לדוגמה, הפונקציה:  f(x)=\sqrt[3]{x^2} \! שנגזרתה: f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}
ניתן לראות כי הפונקציה מוגדרת ורציפה לכל \ x, אך אינה גזירה בנקודה \ x=0 שהיא למעשה נקודת קיצון (מינימום מקומי וגלובלי) של הפונקציה. כלומר לא מוגדר שיפוע למשיק בנקודה זו.
היות שהגבול החד צדדי של הנגזרת כאשר \ x שואף לאפס מימין ומשמאל הוא אינסופי, קיים בנקודה זו משיק אנכי לפונקציה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]